Дискретные случайные величины. Закон распределения. Виды дискретных распределений Исполнитель

Дискретные случайные величины. Закон распределения. Виды дискретных распределений

План:

1. Понятие случайной величины и ее виды.
2. Закон распределения дискретной случайной величины.
3. Некоторые дискретные распределения.

В предыдущих темах неоднократно приводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ... , 100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку .

Так как в результате испытаний происходят элементарные события, то можно связать понятия случайной величины и элементарных событий и дать другое определение случайной величины.

Случайной величиной называется функция , определенная на пространстве элементарных событий ,  .

Пример 3. При подбрасывании двух монет число выпавших гербов Х есть случайная величина, которая может принимать значения 0, 1 и 2. Пространство элементарных событий состоит из следующих элементарных событий:

, , , .

Тогда Х принимает следующие значения:

,   ,

,   .

Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами , а их возможные значения — соответствующими строчными буквами . Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они обозначаются через .

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. В качестве примера таковой можно привести случайную величину из примера 1.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. В качестве примера такой величиныможно привести случайную величину из примера 2.

Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности. С другой стороны, во многих задачах нет необходимости рассматривать случайные величины как функции от элементарного события, а достаточно знать лишь вероятности возможных значений случайной величины, т.е. закон распределения случайной величины.

Законом распределения вероятностей или просто законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать в виде таблицы, графика и формулы.

Рассмотрим различные способы задания закона распределения вероятностей на примерах.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности. Сумма вероятностей во второй строке таблицы должна быть равна 1. В таблице 5.1 задан закон распределения дискретной случайной величины из примера 3.

 {spoiler=Подробнее}

Т а б л и ц а  5.1

Пример 4. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 5000 сум, пять выигрышей по 1000 сум и десять выигрышей по 500 сум. Найти закон распределения случайной величины Х — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: , , , . Вероятности этих возможных значений таковы: , , , .

Тогда искомый закон распределения имеет вид

Т а б л и ц а  5.2

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. На рисунке 5.1 приведен многоугольник распределения случайной величины  Х  из примера 3.

Теперь рассмотрим некоторые дискретные распределения, заданные посредством формул: биномиальное, геометрическое и Пуассона.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А (успеха) постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления (неудачи) равна q=1–p). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в этих испытаниях. Возможные значения Х таковы: 0, 1, 2, ..., n. Вероятности этих возможных значений находятся по формуле Бернулли (4.1):

,

где k= 0, 1, 2, ..., n.

Рис. 5.1.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть формулы Бернулли можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Так как p + q = 1, то сумма вероятностей возможных значений случайной величины равна 1.

Таким образом, биномиальный закон распределения имеет вид

Т а б л и ц а  5.3

В качестве примера биномиального распределения можно привести распределение случайной величины из примера 3.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А (успеха) равна р () и, следовательно, вероятность его непоявления (неудачи) равна q=1–p. Испытания продолжаются до первого успеха. Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k – 1 испытаниях оно не появлялось.

Если через Х обозначить дискретную случайную величину, равную числу испытаний до первого успеха, то ее возможными значениями будут натуральные числа 1, 2, 3, ...

Пусть в первых k – 1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме 3.3 умножения вероятностей независимых событий, равна

                                       .                                   (5.1)

Геометрическим называют распределение вероятностей, определяемое формулой (5.1), так как полагая в этой формуле      k = 1, 2, ..., получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q ():

Просуммировав бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, легко убедиться, что сумма вероятностей возможных значений случайной величины равна 1:

.

Таким образом, геометрический закон распределения имеет вид

Т а б л и ц а  5.4

Пример 5. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель . Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. По условию , , . Искомая вероятность по формуле (5.1) равна:

.

Пусть производится  n  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются локальной теоремой Лапласа. Однако она дает большую погрешность, если вероятность события мала ().

Если сделать допущение, что произведение  при  сохраняет постоянное значение, а именно , то вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз, находится по следующей формуле

                                          .                                     (5.2)

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (п велико) и маловероятных (р мало) событий. Имеются специальные таблицы для распределения Пуассона.

Пример 6. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию , , . Найдем :

.

Искомая вероятность по формуле (5.2) равна:

.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Как определяется случайная величина в общем случае и на языке функций?
2. Что такое дискретная случайная величина?
3. Что такое непрерывная случайная величина?
4. Что вы знаете о законе распределения дискретной случайной величины?
5. Что вы знаете о биномиальном законе распределения?
6. Каковы особенности геометрического закона распределения?
7. В каких случаях используют распределение Пуассона?

Опорные слова:

Случайная величина, дискретная случайная величина, непрерывная случайная величина, закон распределения дискретной случайной величины, многоугольник распределения, биномиальное распределение, геометрическое распределение, распределение Пуассона.{/spoilers}