Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Виды непрерывных распределений

План:

1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
2. Нормальное распределение.
3. Равномерное и показательное распределения.

Как и дискретные случайные величины, непрерывные случайные величины также имеют числовые характеристики. Рассмотрим математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности  и возможные значения этой случайной величины принадлежат отрезку .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется следующий определенный интеграл

                                    .                                  (8.1)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси Ох, то математическое ожидание имеет следующий вид

                                    .                                 (8.2)

Дисперсией непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется следующий определенный интеграл

                           .                         (8.3)

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси Ох, то дисперсия имеет следующий вид

                           .                        (8.4)

Для вычисления дисперсии более удобны соответственно следующие формулы

                                                    (8.5)

и

                           .                       (8.6)

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной случайной величины, следующим равенством

                                       .                                     (8.7)

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной следующей функцией распределения:

.

Решение. Найдем функцию плотности:

.

Найдем математическое ожидание по формуле (8.1):

.

Найдем дисперсию по формуле (8.5):

.

Найдем среднее квадратическое отклонение по формуле (8.7):

.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Функции плотности непрерывных случайных величин называются также законами распределений. Наиболее часто встречаются законы нормального, равномерного и показательного распределений.

Нормальным распределением с параметрами  и  () называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается следующей функцией плотности

                                  .                                (8.8)

Отсюда видно, что нормальное распределение определяется двумя параметрами:  и . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Отметим вероятностный смысл этих параметров. Итак, , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру , и , т.е. среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид

    {spoiler=Подробнее}                           .                            (8.9)

Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами  и  (). Стандартным называется нормальное распределение с параметрами  и .

Легко заметить, что функция плотности стандартного нормального распределения имеет следующий вид

                                      .                                    (8.10)

Эта функция уже встречалась нам в теме № 4. Ее значения приведены в специальных таблицах в различной литературе по теории вероятностей и математической статистике.

Вероятность попадания нормальной случайной величины с произвольными параметрами  и  в интервал  можно найти, пользуясь функцией Лапласа . Действительно, по теореме 7.1 имеем

.

Введем новую переменную . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .

Таким образом, имеем

.

Используя функцию , окончательно получим

                    .              (8.11)

В частности, вероятность попадания стандартной нормальной случайной величины Х в интервал  равна

                                    ,                              (8.12)

так как в этом случае  и .

Пример 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Воспользуемся формулой (8.11). По условию, , , , , следовательно,

.

По таблице находим . Отсюда искомая вероятность равна

.

Рис. 8.1.

График функции плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса). Этот график изображен на рис. 8.1.

Равномерным распределением на отрезке  называется распределение вероятностей случайной величины Х, все возможные значения которой принадлежат этому отрезку, если ее функция плотности имеет вид

                       .                (8.13)

Рис. 8.2.

Функция распределения равномерно распределенной на  случайной величины имеет вид

                 .           (8.14)

График функции плотности равномерного распределения приведен на рис. 8.2, а график функции распределения — на рис. 7.3.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию равномерной случайной величины. По формуле (8.1) имеем

.

Далее, по формуле (8.5) имеем

.

Теперь найдем вероятность попадания непрерывной случайной величины Х, распределенной равномерно на , в интервал , принадлежащий .

Используя теорему 7.1 и формулу (8.13), имеем

или

                                  .                               (8.15)

Показательным (экспоненциальным) распределением называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается функцией плотности

                          ,                   (8.16)

где  — постоянная положительная величина.

Из определения видно, что показательное распределение определяется одним параметром . Найдем функцию распределения показательного закона:

.

Итак,

                         .                 (8.17)

Графики функций плотности и распределения показательного закона изображены на рис. 8.3.

Рис. 8.3.

Найдем вероятность попадания в интервал  непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону из формулы (8.17). Используя формулу (7.4), имеем

или

                                .                         (8.18)

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал .

Решение. По условию, . Воспользуемся формулой (8.18):

Отметим вероятностный смысл параметра показательного распределения. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны обратной величине параметра , т.е.  и .

Пример 4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону

.

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию случайной величины Х.

Решение. По условию, . Следовательно,

;

.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что является математическим ожиданием непрерывной случайной величины?
2. Что является дисперсией непрерывной случайной величины и как она вычисляется?
3. Что называется нормальным распределением?
4. Каков вероятностный смысл параметров нормального распределения?
5. Что такое общее и стандартное нормальные распределения, каковы их функции плотности и распределения?
6. Как находится вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал?
7. Что называется равномерным распределением?
8. Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия равномерной случайной величины?
9. Как находится вероятность попадания равномерной случайной величины в заданный интервал?
10. Что называется показательным распределением?
11. Как находится вероятность попадания показательной случайной величины в заданный интервал?
12. Каков вероятностный смысл параметра показательного распределения?

Опорные слова:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, дисперсия непрерывной случайной величины, закон распределения, нормальное распределение, общее нормальное распределение, стандартное нормальное распределение, вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал, нормальная кривая (кривая Гаусса), равномерное распределение, вероятность попадания равномерной случайной величины в заданный интервал, показательное распределение, вероятность попадания показательной случайной величины в заданный интервал.{/spoilers}