Закон больших чисел и его практическое значение.Понятие о центральной предельной теореме Исполнитель

Закон больших чисел и его практическое значение.Понятие о центральной предельной теореме

План:

1. Закон больших чисел.
2. Центральная предельная теорема.

Как мы видели в предыдущих темах, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания, потому что это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Однако при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли.

Теоремы, относящиеся к закону больших чисел, устанавливают условия сходимости среднего арифметического п случайных величин к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Вначале приведем неравенство Чебышева, на которое опираются доказательства вышеназванных теорем.

Если известна дисперсия случайной величины, то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего математического ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии. Соответствующую оценку вероятности дает неравенство П.Л.Чебышева:

                       ,     .                  (9.1)

Из этого неравенства в качестве следствия можно получить следующее неравенство

                    ,     .               (9.2)

Пример 1. Оценить вероятность отклонения случайной величины Х от своего математического ожидания на величину, превышающую утроенное среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение. По условию, . Учитывая, что , из формулы (9.1) получаем

.

Теорема 9.1 (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть  — последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же числом с: , . Тогда для любого  имеет место:

                      .                 (9.3)

Из этой теоремы вытекает справедливость закона больших чисел для среднего арифметического независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение вероятностей.{spoiler=Подробнее}

Следствие 9.1. Пусть  — последовательность независимых случайных величин, имеющих одно и то же математическое ожидание а, и дисперсии которых ограничены сверху одним и тем же числом с: , . Тогда для любого  имеет место:

                               .                         (9.4)

Закон больших чисел для независимых случайных величин с одинаковым математическим ожиданием отражает сходимость среднего арифметического случайных величин в сериях независимых испытаний к общему математическому ожиданию этих случайных величин.

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из этих величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они погашаются.

Закон больших чисел имеет многочисленные практические приложения. Пусть, например, производится п независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой равно а. Результат каждого измерения является случайной величиной . Если измерения выполняются без систематической погрешности, то математическое ожидание случайных величин  можно считать равным истинному значению измеряемой величины, , . Дисперсию результатов измерений часто можно считать ограниченной некоторым числом с.

Тогда случайные результаты измерений удовлетворяют условиям теоремы 9.1 и, следовательно, среднее арифметическое п измерений при большом числе измерений практически не может сильно отличаться от истинного значения измеряемой величины а. Этим обосновывается выбор среднего арифметического измерений в качестве истинного значения измеряемой величины.

Для относительной частоты успехов в независимых испытаниях справедлива следующая теорема.

Теорема 9.2 (закон больших чисел в форме Бернулли). Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то для числа успехов т в этих испытаниях при любом  имеет место:

                                   .                              (9.5)

Рассмотрим последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин . Пусть , , . Образуем последовательность , , центрированных и нормированных сумм случайных величин:

                                         .                                   (9.6)

Согласно центральной предельной теореме, при достаточно общих предположениях о законах распределения случайных величин  последовательность функций распределения центрированных и нормированных сумм случайных величин  при  сходится для любых х к функции распределения стандартной нормальной случайной величины.

Теорема 9.3 (центральная предельная теорема). Пусть  — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечную дисперсию , и пусть , . Тогда для любого  имеет место:

                             .                       (9.7)

Вопросы для повторения и контроля:

1. О чем идет речь в теоремах, носящих общее название закона больших чисел?
2. Что вы знаете о неравенстве Чебышева?
3. Что утверждает закон больших чисел в форме Чебышева?
4. В чем сущность закона больших чисел и каково его практическое значение?
5. Что утверждает закон больших чисел в форме Бернулли?
6. О чем идет речь в центральной предельной теореме?

Опорные слова:

Закон больших чисел, неравенство Чебышева, последовательность независимых случайных величин, центрированная и нормированная сумма случайных величин, центральная предельная теорема.{/spoilers}