Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительные интервалы для неизвестных параметров нормального распределения Исполнитель

Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительные интервалы для неизвестных параметров нормального распределения

План:

1. Точность оценки, надежность, доверительный интервал.
2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.
3. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
4. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Имеется два способа оценки параметров: точечный и интервальный. Точечные методы указывают лишь точку, около которой находится неизвестный оцениваемый параметр. С помощью интервальных способов можно найти интервал, в котором с некоторой вероятностью находится неизвестное значение параметра.

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика  служит оценкой неизвестного параметра . Если  и , то оценка  тем точнее определяет параметр , чем меньше . Точность оценки характеризуется положительным числом .

Однако нельзя категорически утверждать, что оценка  удовлетворяет неравенству . Статистические методы позволяют лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки  по  называется вероятность , с которой осуществляется неравенство , т.е.

                                        .                              (13.1)

В качестве  берется число, близкое к единице.

Из неравенства  легко можно получить двойное неравенство

                                        .                               (13.2)

Тогда соотношение (13.1) принимает следующий вид

                                  .                         (13.3)

Это соотношение означает следующее: вероятность того, что интервал  заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Интервал  называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный параметр  с заданной надежностью .

{spoiler=Подробнее} 

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение  этого распределения  и з в е с т н о. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание  по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр  с надежностью .

Будем рассматривать выборочную среднюю  как случайную величину  ( изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака , , ... ,  — как одинаково распределенные случайные величины , , ... ,  (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Математическое ожидание каждой из этих величин равно  и среднее квадратическое отклонение — .

Тогда, используя свойство 6.2, следствие 6.2, а также формулу (12.6), получаем, что параметры распределения  следующие:

                               ,     .                     (13.4)

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

                                        ,                               (13.5)

где  — заданная надежность.

Используя формулу (8.11) с заменой  на  и  на , нетрудно получить соотношение

                       ,              (13.6)

где .

Найдя из последнего равенства , можно написать

                               .                       (13.7)

Обозначая для общности выборочную среднюю вновь через , из соотношений (13.5) – (13.7) получаем соотношения

                                                                                    (13.8)

и

                          .               (13.9)

Значит, с надежностью  можно утверждать, что доверительный интервал  покрывает неизвестный параметр , при этом точность оценки равна , а число  определяется из равенства (13.8) по таблице функции Лапласа.

Пример 1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания  по выборочной средней , если объем выборки  и задана надежность оценки .

Решение. Найдем . Из соотношения (13.8) получаем  и по таблице функции Лапласа находим .

Найдем точность оценки:

.

Доверительный интервал таков: . Например, если  , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:

;    .

Далее нам потребуются распределения «хи квадрат» и Стьюдента.

Пусть  () — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице. Тогда сумма квадратов этих величин  распределена по закону  («хи квадрат») с  степенями свободы.

Функция плотности этого распределения имеет вид

                  ,       (13.10)

где  — гамма-функция.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром — числом степеней свободы .

Далее, пусть  — нормальная случайная величина, причем , , а  — независимая от  случайная величина, которая распределена по закону  с  степенями свободы. Тогда случайная величина

                                                                                  (13.11)

имеет распределение, которое называется -распределением или распределением Стьюдента с  степенями свободы.

Пусть теперь требуется оценить неизвестное математическое ожидание  количественного признака Х генеральной совокупности, который распределен нормально, по выборочной средней , когда среднее квадратическое отклонение  этого распределения  н е и з в е с т н о. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр  с надежностью .

Рассмотрим случайную величину

                                               ,                                  (13.12)

которая имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы. Здесь  — выборочная средняя,  — «исправленное» среднее квадратическое отклонение,  — объем выборки.

Функция плотности распределения этой случайной величины равна

                                  ,                      (13.13)

где . Отсюда видно, что распределение случайной величины (13.12) определяется параметром  — объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров  и .

Поскольку  — четная функция от , то вероятность осуществления неравенства

                                                                                 (13.14)

определяется на основании теоремы 7.1 из следующей формулы

                           .               (13.15)

Заменив неравенство (13.14) равносильным ему двойным неравенством, получаем соотношение

                         .             (13.16)

Итак, пользуясь распределением Стьюдента, мы нашли доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр  с надежностью . Из специальной таблицы по заданным  и  можно найти .

Пример 2. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема  найдены выборочная средняя  и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Оценить неизвестное математическое ожидание  при помощи доверительного интервала с надежностью .

Решение. Найдем . Пользуясь таблицей, по  и  находим .

Найдем доверительные границы:

,

.

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр  заключен в доверительном интервале .

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение  по «исправленному» среднему квадратическому отклонению . Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр  с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

                                                                       (13.17)

или равносильное ему соотношение

                                  ,                         (13.18)

где  — заданная надежность.

Положив  , из двойного неравенства

                                                                        (13.19)

получаем неравенство

                                    .                           (13.20)

Для нахождения доверительного интервала, покрывающего параметр , остается только найти . С этой целью рассмотрим случайную величину

                                         ,                              (13.21)

где  — объем выборки (эта случайная величина обозначена через  ввиду того, что случайная величина  распределена по закону  с  степенями свободы).

Функция плотности распределения случайной величины  имеет следующий вид

                                 .                     (13.22)

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит лишь от объема выборки .

Из неравенства (13.20) можно получить неравенство

                                   .                         (13.23)

Умножив все члены этого неравенства на , получаем

или

                                      .                          (13.24)

Воспользовавшись теоремой 7.1, находим, что вероятность осуществления этого неравенства и, следовательно, равносильного ему неравенства (13.20), равна

                                       .                            (13.25)

Из этого уравнения можно по заданным  и  найти . Однако на практике  находится из специальной таблицы.

Вычислив по выборке  и найдя по таблице , получим искомый доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр  с заданной надежностью .

Пример 3. Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема  найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью .

Решение. По специальной таблице по данным  и  найдем .

Найдем искомый доверительный интервал:

или

.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Какие способы оценки параметров и связанные с ними оценки вы знаете?
2. Что такое точность оценки и надежность (доверительная вероятность)?
3. Что называется доверительным интервалом?
4. Как находится доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении?
5. Что вы знаете о распределениях «хи квадрат» и Стьюдента?
6. Как находится доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении?
7. Как находится доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения?

Опорные слова:

Точечная оценка, интервальная оценка, точность оценки, надежность (доверительная вероятность), доверительный интервал, доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении, распределение «хи квадрат», распределение Стьюдента, доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении, доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.{/spoilers}