Последовательность независимых испытаний. Локальная и интегральная теоремы Лапласа Исполнитель
- Скачано: 57
- Размер: 122.89 Kb
Последовательность независимых испытаний. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
План:
- Последовательность независимых испытаний.
- Формула Бернулли.
- Наивероятнейшее число успехов.
- Локальная теорема Лапласа.
- Интегральная теорема Лапласа.
- Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо произойти (успех), либо не произойти (неудача). Будем считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1–p. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.
В качестве таких испытаний можно рассматривать, например, производство изделий на определенном оборудовании при постоянстве технологических и организационных условий, в этом случае изготовление годного изделия — успех, бракованного — неудача. Эта ситуация соответствует схеме Бернулли, если считать, что процесс изготовления одного изделия не зависит от того, были годными или бракованными предыдущие изделия.
Другим примером является стрельба по мишени. Здесь попадание — успех, промах — неудача.
Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n—k раз, т.е. будет k успехов и n—k неудач.
Искомую вероятность обозначим . Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Последовательность п независимых испытаний можно рассматривать как сложное событие, являющееся произведением п независимых событий. Следовательно, вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n—k раз, по теореме 3.3 умножения вероятностей независимых событий, равна
.
Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е. .
Так как эти сложные события несовместны, то по теореме 3.1 сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появление k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число
или
(4.1)
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
Пример 1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в течение 4 суток из ближайших 6 суток расход электроэнергии не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии на продолжении каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна .
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
.
{spoiler=Подробнее}
В ряде задач представляет интерес наивероятнейшее число успехов, т.е. такое число успехов, вероятность которого самая большая среди вероятностей (4.1). Так как при увеличении k вероятности (4.1) сначала возрастают, а затем, с определенного момента, начинают убывать, то для должны иметь место соотношения
(4.2)
и
. (4.3)
Используя формулу (4.1) и соотношение , из (4.2) и (4.3) получаем соответственно неравенства
(4.4)
и
. (4.5)
Окончательно получаем, что лежит в интервале единичной длины:
. (4.6)
Однако, стоит заметить, что использование формулы Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Например, если , , , то для отыскания вероятности надо вычислить выражение , где , , .
Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции
при .
Имеются таблицы, в которых помещены значения функции . При этом следует учитывать, что , так как функция четна.
Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна
, (4.7)
где .
Пример 2. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию ; ; ; . Воспользуемся формулой (4.7):
.
Вычислим определяемое данными задачи значение х:
.
По таблице находим .
Искомая вероятность равна
.
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки, ввиду их громоздкости, опущены):
.
Пусть теперь требуется вычислить вероятность того, что событие А появится в п испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить «от до раз»). Эта задача решается с помощью следующей теоремы.
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу
, (4.8)
где и .
При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальной таблицей для интеграла . В таблице даны значения функции для , а для воспользуемся нечетностью функции , т.е. . Функцию часто называют функцией Лапласа.
Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от до раз, равна
, (4.9)
где и .
Пример 3. Вероятность того, что организация не прошла проверку налоговой инспекции, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных организаций не прошедших проверку окажется от 70 до 100 организаций.
Решение. По условию ; ; ; ; . Воспользуемся формулой (4.9):
.
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
;
.
Таким образом, имеем
.
По таблице значений функции находим
; .
Искомая вероятность равна
.
В теме № 1 было отмечено, что по статистическому определению вероятности в качестве вероятности можно взять относительную частоту, поэтому представляет интерес оценка разности между ними. Вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа , равна
. (4.10)
Пример 4. Вероятность того, что деталь не стандартна, равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,03.
Решение. По условию ; ; ; .
Требуется найти вероятность .
Пользуясь формулой (4.10), имеем
.
По таблице находим . Следовательно, .
Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.
Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44 % этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит 0,03.
Вопросы для повторения и контроля:
- Что называется схемой Бернулли?
- Как выводится формула Бернулли?
- Как находится наивероятнейшее число успехов?
- О чем идет речь в локальной теореме Лапласа?
- О чем идет речь в интегральной теореме Лапласа?
- Как находится вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности?
Опорные слова:
Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли, формула Бернулли, наивероятнейшее число успехов, локальная теорема Лапласа, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, интегральная теорема Лапласа, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от до раз, функция Лапласа, вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.{/spoilers}
