Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма

План:

1. Статистическое распределение выборки.
2. Эмпирическая функция распределения.
3. Полигон и гистограмма.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка. При этом пусть значение  наблюдалось  раз,  —  раз, ... ,  —  раз и т.д.;  является объемом выборки.

Наблюдаемые значения  называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюдений  называются частотами, а их отношения к объему выборки  — относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. В этом случае в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал. При этом сумма частот должна быть равна объему выборки, а сумма относительных частот — единице.

В теории вероятностей под распределением понимается соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (относительными частотами).

Пример 1. Задано распределение частот выборки объема :

Т а б л и ц а  11.1

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

,    ,    .

Напишем распределение относительных частот:

Т а б л и ц а  11.2

К о н т р о л ь:  0,35 + 0,4 + 0,25 = 1.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Обозначим через  число наблюдений, при которых наблюдались значения признака, меньшие х, а через  — общее число наблюдений (объем выборки). Относительная частота события  равна . При изменении x изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота  есть функция от х.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения х относительную частоту события , т.е.

                                            ,                                   (11.1)

{spoiler=Подробнее}

где  — число вариант, меньших х;  — объем выборки.

Функция  называется эмпирической, потому что она находится эмпирическим (опытным) путем.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функция распределения  генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция  определяет вероятность события , а эмпирическая функция  определяет относительную частоту этого же события.

Из закона больших чисел в форме Бернулли (теорема 9.2) следует, что при больших  относительная частота события , т.е.  и вероятность этого же события  мало отличаются одно от другого в том смысле, что

                 при любом .       (11.2)

С другой стороны, из определения функции  вытекает, что она обладает всеми свойствами :

1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;
2.  — неубывающая функция;
3. если  — наименьшая варианта, то  при ; если  — наибольшая варианта, то  при .

Отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности. Другими словами, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример 2. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Т а б л и ц а  11.3

Решение. Найдем объем выборки: . Наименьшая варианта равна 1, следовательно,

 при .

Значение , а именно , наблюдалось 9 раз, следовательно,

 при .

Значения , а именно  и , наблюдались  раз, следовательно,

 при .

Так как наибольшая варианта равна 8, то

 при .

Искомая эмпирическая функция имеет вид

.

График этой функции изображен на рис. 11.1.

Рис. 11.1.

Статистическое распределение графически можно изобразить различными способами, в частности, в виде полигона и гистограммы.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки , , ... , . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат — соответствующие им частоты . Точки  соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки , , ... , . Полигон относительных частот строится аналогичным полигону частот образом. На рис. 11.2 изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Т а б л и ц а  11.4

Рис. 11.2.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивается на несколько частичных интервалов длиной  и для каждого частичного интервала находится  — сумма частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс следует отложить частичные интервалы, а над ними провести отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна  — сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Т а б л и ц а  11.5

На рис. 11.3 изображена гистограмма частот распределения, заданного в табл. 11.5.

Рис. 11.3.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению . Гистограмма относительных частот строится аналогичным гистограмме частот образом.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна  — сумме относительных частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что называется вариантами, вариационным рядом, частотами и относительными частотами?
2. Что такое статистическое распределение выборки и как оно задается, какова разница между распределением в теории вероятностей и распределением в математической статистике?
3. Что такое эмпирическая функция распределения и теоретическая функция распределения?
4. Какими свойствами обладает эмпирическая функция распределения?
5. В чем целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности?
6. Что называется полигоном частот и полигоном относительных частот, как они строятся?
7. Что такое гистограмма частот, как она строится и чему равна площадь гистограммы частот?
8. Что такое гистограмма относительных частот, как она строится и чему равна площадь гистограммы относительных частот?

Опорные слова:

Варианта, вариационный ряд, частота, относительная частота, статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, теоретическая функция распределения, полигон частот, полигон относительных частот, гистограмма частот, площадь гистограммы частот, гистограмма относительных частот, площадь гистограммы относительных частот.

{/spoilers}