Основной закон зацепления. Эвольвента и ее свойства Исполнитель

Основной закон зацепления. Эвольвента и ее свойства

{spoiler=Далее}

Основной закон зацепления. Эвольвента и ее свойства

         Теория зубчатых зацеплений, геометрические параметры зубчатых колес и кинематика зубчатых передач базируются на основном законе зацепления [4], [18]. Зацепление – это картина контакта зубьев двух сопряженных (то есть, находящихся в зацеплении) зубчатых колес. Для демонстрации основного закона зацепления можно не рассматривать всех зубьев в контакте, достаточно ограничиться изображением только тех частей профиля зубьев, которые образуют высшую кинематическую пару.

         На рис. 5.3 приведена схема контакта зубьев двух зубчатых колес. Чтобы показать принадлежность контактирующих частей зубьев зубчатым колесам 1 и 2, они соединены с соответствующими центрами вращения колес О₁ и О₂.

Рис. 5.3.

Прямая, проведенная через центры вращения колес, называется линией центров. Согласно теории высшей кинематической пары, через точку контакта К можно провести общую нормаль n-n к профилям зубьев. Вектор силы, передаваемой от первого колеса ко второму, будет располагаться вдоль этой нормали, поэтому, она называется линией действия. В точке пересечения нормали с линией центров находится точка Р, называемая полюсом зацепления.

Основной закон зацепления формулируется следующим образом: линия действия делит линию центров на части, обратно пропорциональные угловым скоростям сопряженных зубчатых колес.

 Отношение угловых скоростей – это передаточное отношения, поэтому, можно записать:

                                       (5.1)

Заметим, что в этой формуле имеет значение не только величина отрезков О₁Р и О₂Р, но и их направление. Для схемы на рис. 5.3 эти отрезки направлены в противоположных направлениях. Следовательно, отношение их длин, отношение угловых скоростей и передаточное отношение – отрицательно, что говорит о противоположном направлении вращения сопряженных зубчатых колес.

Рассмотрим, как может изменяться картина зацепления и передаточное отношение в процессе передачи движения. Для этого изобразим еще одно положение зубчатых колес (звеньев 1 и 2) (рис. 5.4).

         В процессе передачи движения контактирующие профили скользят друг по другу и контактная точка перемещается по какой-то линии. Геометрический след контактной точки называется линией зацепления (рис. 5.4).

         В первой позиции нормаль n’-n’, проведенная через контактную точку К’, пересекает линию центров в полюсе Р’, значит, передаточное отношение:

         Во второй позиции нормаль n”-n”, проведенная через контактную точку К”, пересечет линию центров в полюсе Р”, который, в рассматриваемом случае, не совпадает с полюсом Р’. Передаточное отношение во второй позиции:

Из рис. 5.4 видно, что отношение отрезков в первой позиции и во второй различно, следовательно:

¹

Рис. 5.4.

Отсюда следует простой вывод: если угловая скорость первого зубчатого колеса постоянна, то есть, оно вращается равномерно, то, в рассматриваемом случае, угловая скорость второго колеса будет непостоянной, то есть, оно будет вращаться неравномерно.

         Однако, для большинства случаев, это является неприемлемым. В машинах следует использовать зубчатые механизмы, обеспечивающие постоянную угловую скорость звеньев, то есть, необходим зубчатый механизм с постоянным передаточным отношением

Для соблюдения этого условия профили зубьев должны быть таковы, чтобы общая нормаль, проведенная через точку их контакта в любой позиции, проходила через  одну и ту же точку (полюс Р) на линии центров, то есть, в процессе зацепления полюс Р не должен менять своего положения на линии центров.

         Такому требованию отвечают профили зубьев, очерченные по некоторым кривым, наиболее употребительной из которых является эвольвента окружно­сти. Более двухсот лет тому назад эту кривую для профилирования зубьев предложил использовать русский ученый немецкого происхождения Эйлер. И с тех пор эвольвентный профиль зубьев с успехом используется в подавляющем большинстве зубчатых механизмов машин во всем мире.

         Образование эвольвенты можно представить следующим образом. На барабан (рис. 5.5) намотана нить в направлении движения часовой стрелки. Будем разматывать эту нить, сохраняя ее натяжение. На рис. 7.5 показано 8 позиций этой нити в процессе разматывания. Конец нити описывает кривую, являющуюся эвольвентой. Возможен другой способ: при перекатывании прямой по окружности точка этой прямой описывает эвольвенту. Прямая называется производящей прямой, а окружность – основной окружностью. Поэтому, можно сказать: эвольвента образуется при перекатывании производящей прямой по основной окружности.

Рис. 5.5.

         Из способа получения эвольвенты следуют ее свойства, из которых отметим только те, которые используются при образовании зубьев колес и в процессе зацепления.

         1. Эвольвента – это кривая переменной кривизны.

2. Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

         3. Центр кривизны эвольвенты находится на основной окружности.

         4. Радиус кривизны эвольвенты в определенной точке равен длине дуги, смотанной с основной окружности.

Когда нить сматывается с барабана против часовой стрелки, то образуется правая эвольвента, так как она профилирует правую сторону будущего зуба колеса. Если нить намотана против часовой стрелки, а сматывается по часовой стрелки, то образуется левая эвольвента, профилирующая левую сторону зуба (рис. 5.5).

{/spoilers}