НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Исполнитель

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

План

1. Нестационарные режимы функционирования  вычислительных
систем

2. Характеристики вычислительных систем  как стохастических сетей

1. Нестационарные режимы функционирования
 вычислительных систем

Переходные процессы. До сих пор рассматривались характе­ристики ВС в стационарном установившемся режиме. Однако на практике не менее важным является анализ нестационарных режимов. Значения выходных характеристик в нестационарных режимах функционирования ВС можно определить для одних систем путем численного решения уравнений Колмогорова (9) задавая в них интенсивности как функции времени  для других систем — в результате непрерывной или диффузион­ной аппроксимации процессов.

Частным случаем нестационарных режимов является переход­ный процесс, когда, например, в начальный момент времени в си­стеме отсутствуют очереди и начинают поступать заявки с по­стоянной интенсивностью X. Важно уметь определять, когда уста­новится стационарный режим.

Рис. 12. Временная диаграмма по­ведения системы в режиме перегрузки

Рис. 11. График зависимости сред­него времени ожидания от текущего времени в переходном режиме

В работе приводятся результаты анализа переходных процессов для системы M/G/1. Интенсивность входящего пуассо-новского потока  принималась равной 0,95 заявок в минуту, а среднее время обслуживания v =1 мин. Коэффициент загрузки р = 0,95. Рассматривались следующие распределения длитель­ности обслуживания:

1) экспоненциальное распределение

2) нормированное распределение Эрланга 8-го порядка со средним, равным восьми,

3) комбинация экспоненциального распределения со средним значением 4 и распределения Эрланга 4-го порядка со средним зна­чением 2/3

Зависимости среднего времени ожидания заявок в очереди в течение переходного процесса для этих случаев показаны на рис. 11. Установившиеся значения соответственно равны 19; 10,69 и 35,2 мин. Если принять длительность переходного про­цесса равной бремени, в течение которого среднее время ожидания достигает 0,8 от установившегося значения, то для этих случаев она соответственно составит 15,2; 8,55 и 28,2 ч. За эти времена система успевает обслужить 867, 487 или 1605 заявок. Можно утверждать, что ВС с суточным циклом никогда не работают практически в установившемся режиме при большой загрузке. Этот вывод можно распространить на ВС с большей длительностью цикла, если они имеют соответственно меньшие интенсивности поступления и обслуживания заявок.

Режимы перегрузок. Методы непрерывной и диффузионной аппроксимации дают возможность проанализировать поведение системы при изменяющихся во времени интенсивностях прихода и обслуживания заявок. С практических позиций наибольшую важность представляет анализ режима перегрузок, когда в течение некоторого интервала времени коэффициент загрузки р > 1.

Рассмотрим этот режим на упрощенном примере (рис. 12). Предположим, что в одноканальную систему поступает одномерный поток заявок с интенсивностью . Заявки обслуживаются в порядке поступления с постоянной интенсивностью

В начальный момент t₀ коэффициент загрузки р < 1. В системе. имеются заявки, накопление которых обусловлено случайным характером их поступления и обслуживания.

Затем интенсивность поступления заявок начинает расти, достигая максимального значения. С момента t₁ становится р > 1 и увеличивается число заявок в системе. При максимальном  число заявок n(t) растет линейно, стремясь к бесконечности. Но в связи с тем, что в момент t₂ интенсивность поступления начинает уменьшаться, рост n(t) замедляется и достигает максимума в момент t₃ при р = 1.

В режиме перегрузки накопление заявок в системе определяется в основном не случайными факторами, а превышением средней интенсивности поступления над интенсивностью обслуживания. С момента t₃ число заявок уменьшается до момента t₄ принимая установившееся значение. Длительность рассасывания числа заявок может быть приближенно оценена по равенству заштрихованных на рисунке площадей, обозначенных плюсом и минусом.

Важно подчеркнуть, что такая система может быть вполне работоспособна, если максимальное число заявок в системе, а соответственно и время реакции не превысят допустимых значений. При правильном задании стохастических ограничений, как показано в п. 2.9, систему можно считать работоспособной даже при кратковременном превышении допустимых значений математическим ожиданием времени реакции. Этот подход дает возможность выбрать производительность ВС не по максимальной интенсивности поступления заявок, обеспечивая р < 1, а на существенно более низком уровне. Отдельные вопросы анализа нестационарных ВС рассматриваются в работах.

2. Характеристики вычислительных систем
как стохастических сетей

 {spoiler=Подробнее}

Описание стохастической сети. Обычно ВС представляется не отдельной СМО, а стохастической сетью. Для описания ВС в виде стохастической сети определяются следующие параметры:

1) число СМО, образующих сеть (S₁, S₂, ..., S_n);

2) число каналов каждой СМО (т₁ ..., m_n);

3) матрица вероятностей передач Р = [p_ij], где р_ij — вероятность того, что заявка, покидающая систему S_i, поступает в систему S_j  (i, j=0,1,...n);

4) интенсивность  источника заявок S₀ в разомкнутой сети или число М заявок в замкнутой сети;

5) средние длительности обслуживания заявок  в системах S₁,...S_n.

Рассмотрим характеристики экспоненциальных сетей, как это сделано в работе. Экспоненциальная стохастическая сеть имеет простейшие входные потоки и распределенные по экспоненциальному закону длительности обслуживания заявок в различных системах сети. В установившемся режиме вероятность передачи заявки из системы S_i; в систему S_j равна доле потока, поступающего из системы S_i; в систему S_j. Если система без потерь, то на входе системы S_i; имеется поток с интенсивностью

                                    1, ..., n.                                      (1)

Из этой системы уравнений находятся соотношения интенсивностей потоков  и  в виде

                                                                                    (2)

где  — коэффициент передачи, который определяет среднее число этапов обслуживания одной заявки в системе S_j.

Для замкнутой сети принимается .

Определение вероятности состояний. В стационарном установившемся режиме вероятность того, что в системе S_j находится М_j заявок, определяется из выражения

                                                                                (3)

где

                                                                       (4)

                                                       (5)

                                                             (6)

Вероятность состояния замкнутой сети Р (M₁, ..., M_n), характеризующая вероятность того, что в системе S₁ находится М₁заявок,

и т. д., вычисляется по формуле

                                                     (7)

где  — символ суммирования по всем     возможным состояниям, для которых

                                                                                                 (8)

По вероятностям состояний определяются характеристики сети.

Вычисление характеристик разомкнутой сети. В разомкнутой экспоненциальной сети в стационарном режиме согласно теореме Джексона можно считать, что сеть состоит из совокупности независимых СМО с простейшими входными потоками. Для каждой СМО характеристики определяются отдельно. Для каждой S_j СМО сети средняя длина очереди

                                                                         (9)

среднее число в системе

                                                                                             (10)

а среднее время ожидания в очереди , и пребывания в системе u_j определяется по формулам Литтла из (9) и (10). Тогда характеристики сети в целом: среднее число заявок во всех очередях

                                                                                                   (11)

среднее число заявок в сети

                                                                                                 (12)

среднее время ожидания в очередях

                                                                                             (13)

среднее время реакции сети

                                                                                               (14)

Вычисление характеристик замкнутой сети. Для любой S_j СМО сети средняя длина очереди

                                                                         (15)

среднее число заявок в СМО

                                                                                   (16)

средние времена ожидания  и пребывания u_j вычисляются по формулам Литтла. Среднее время цикла сети, т. е. интервал времени между двумя последовательными выходами одной и той же заявки из СМО S_i составляет Uj = M/_j.

В заключение отметим, что простые аналитические выражения для определения характеристик ВС как сетевых моделей имеются лишь для узкого круга систем. В ряде случаев приходится прибегать к численным моделям. В работе  изложены некоторые вопросы численных методов исследования систем, и в частности, здесь рассмотрен пакет программ, который позволяет автоматизировать составление и решение уравнений для ВС, описываемых марковскими процессами.

Существенный недостаток сетевых моделей — трудность учета таких ситуаций, когда заявке требуется одновременно несколько ресурсов. В теории массового обслуживания слабо учитывается использование накопителей, неоднородность потока заявок. Считается, что заявка обслуженная одной СМО, поступает на другую, в то время как в ВС в передаче одновременно участвуют передающее устройство, коммуникатор и принимающее устройство. Применение аналитического моделирования целесообразно для предварительной оценки характеристик ВС.

Контрольные вопросы

1. Основные подходы исследования характеристик ВС в нестационарном режиме.
2. Исследование характеристик в режиме перегрузок.
3. Описание стохастической сети применительно к ВС.
4. Определение вероятности состояний.

Определение характеристик разомкнутой и замкнутой сети.

{/spoilers}