Валы и оси Исполнитель

Валы и оси

Цель занятия: ознакомиться  с конструктивными особенностями ва их расчетом на прочность, а также овладеть навыками расчета

План:

1. Общие сведения

2. Проектный расчет валов

3. Проверочный расчет валов

3.1. Составление расчетной схемы и определение расчетных нагрузок

3.2. Расчет на прочность

3.3. Расчет на жесткость

3.4. Расчет на колебания

3-5. Пример расчета

 {spoiler=Подробнее}

Опорные слова: вал,   ось, барабан, расчет, прочность, нагрузка, жесткость,колебания.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

На валах и осях размещают вращающиеся детали: зубчатые колеса, шкивы, барабаны и т. д.

Вал отличается от оси тем, что передает вращающий момент от одной детали к другой, а ось не передает. Например, на рис.14.1 момент от полумуфты 3 к шестерне 1 передается валом 2,а на рис.14.2, где изображен барабан грузоподъемной машины, момент от зубчатого венца передается канату самим барабаном. Вал всегда вращается, а ось может быть вращающейся или невращающейся 

Различают валы прямые, коленчатые и гибкие. Наибольшее распространение имеют прямые валы. Коленчатые валы применяют в поршневых машинах. Гибкие валы допускают передачу вращения при больших перегибах оси (например, в зубоврачебных бормашинах). Коленчатые и гибкие валы относят к специальным деталям и не изучают в настоящем курсе.

По конструкции различают валы и оси: гладкие, фасонные, или ступенчатые, а также сплошные и полые. Образование ступеней на валу связано с закреплением деталей или самого вала в осевом направлении, а также с возможностью монтажа деталей при посадках с натягом. Полыми валы изготовляют для уменьшения веса или в тех случаях, когда через вал пропускают другую деталь.

Прямые валы изготовляют преимущественно из углеродистых и легированных сталей. Чаще других применяют сталь Ст 5 для

валов без термообработки; сталь 45 или 40Х — для валов с термообработкой (улучшение); сталь 20 или 20Х — для быстроходных валов на подшипниках скольжения, у которых цапфы цементируют для повышения износостойкости. Механические характеристики материалов см. в табл. 2.

ПРОЕКТНЫЙ РАСЧЕТ ВАЛОВ

При проектном расчете обычно известны: крутящий момент Т (или мощность N и частота вращения n), нагрузка и размеры основных деталей, расположенных на валу (например, зубчатых колес). Требуется определить размеры и материал вала.

Валы рассчитывают на прочность, жесткость и колебания. Основной расчетной нагрузкой являются моменты Т и М, вызывающие кручение и изгиб. Влияние сжимающих или растягивающих сил мало и, как правило, не учитывается.

Расчет осей является частным случаем расчета валов при Т = 0.

Для выполнения расчета вала необходимо знать его конструкцию (места приложения нагрузки, расположение опор и т. п.). В то же время разработка конструкции вала невозможна без хотя бы приближенной оценки его диаметра.

На практике обычно используют следующий порядок проектного , расчета вала:

1. Предварительно оценивают диаметр вала из расчета только на кручение при пониженных допускаемых напряжениях

где   N-кВТ;    n-об/мин;     d-см;

Обычно принимают:

 — для трансмиссионных и других аналогичных валов;

(14.2)

—для редукторных и других аналогичных валов.

Предварительную оценку диаметра рассчитываемого вала можно также производить, ориентируясь на диаметр того вала, с которым он соединяется (валы передают одинаковый момент Т). Например, если вал соединяется с валом электродвигателя (или другой машины), то диаметр его входного конца можно принять равным диаметру выходного конца вала электродвигателя.

2.      После оценки диаметра вала разрабатывают его конструкцию —
см. пример на рис. 14.1.

3.      Выполняют проверочный расчет выбранной конструкции по
методике, изложенной ниже, и, если необходимо, вносят исправления.

ПРОВЕРОЧНЫЙ РАСЧЕТ ВАЛОВ

Составление расчетной схемы и определение расчетных нагрузок

Расчет валов базируют на тех разделах курса сопротивления материалов, в которых рассматривают неоднородное напряженное состояние и расчет при переменных напряжениях. При этом действительные условия работы вала заменяют условными и приводят к одной из известных расчетных схем. При переходе от конструкции к расчетной схеме производят схематизацию нагрузок, опор и формы вала. Вследствие такой схематизации расчет валов становится приближенным.

Напомним, что в расчетных схемах используют три основных типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную, защемление или заделку. Защемление применяют иногда в опорах неподвижных осей. Для вращающихся осей и валов защемление не допускают.

Выбирая тип расчетной опоры, необходимо учитывать, что деформативные перемещения валов обычно весьма малы, и, если конструкция действительной опо­ры допускает хотя бы небольшой поворот или перемещение, этого достаточно, чтобы считать ее шарнирной или неподвижной.

При этих условиях подшипники, одновременно воспринимающие осевые и радиальные нагрузки, заменяют шарнирно-неподвижными опорами, а подшипники, воспринимающие только радиальные нагрузки, — шарнирно-подвижными.

Условимся в дальнейшем все рассуждения иллюстрировать примером расчета вала, изображенного на рис. 14.1. Для этого вала, учитывая наклон зуба шестерни, левую опору заменяем шарнирно-неподвижной, а правую — шарнирно-подвижной опорами (рис. 14.3).

Действительные нагрузки не являются сосредоточенными, они распределены по длине ступицы, ширине подшипника и т. п. Расчетные нагрузки рассматривают обычно как сосредоточенные. В нашем примере (см. рис. 14.1) вал нагружен силами F_t, (см. рис. 10.14), действующими в полюсе зацепления (см. рис. 14.3, а), и крутящим моментом Г на полумуфте.

В гл. 16 будет показано, что большинство муфт, вследствие неизбежной несоосности соединяемых валов, нагружают вал дополнительно силой F_м. Примеры определения величины F_м для некоторых типов муфт даны в той же главе. При расчете валов приближенно можно принимать  где— окружная сила муфты. Направление силы F_м в отношении силы F_t может быть любым (зависит от случайных неточностей монтажа). В расчетной схеме (рис. 14.3, я) силу F_м, направляем так, чтобы она увеличивала напряжения и деформации от силы F_t, (худший случай).

На рис. 14.3, б силы F_t,F_r и F_a приведены к оси вала и изображены раздельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. При этом возникли пары сил, равные F_t; (d₁/2) = T и F_a, (d₁/2) = M_a„. Здесь d₁ — диаметр делительной окружности шестерни.

Под расчетной схемой построены эпюры изгибающих и крутящих моментов от всех действующих нагрузок (рис. 14.3, и, а, д). По этим эпюрам легко определить суммарные изгибающие моменты в любом сечении вала. Например, для сечения 1-1изгибающий момент

Расчет на прочность

На практие установлено, что для валов основным видом разрушения является усталостное. Статическое разрушение наблюдается значительно реже. Оно происходит под действием случайных кратковременных перегрузок. Поэтому для валов расчет на усталостную прочность является основным. Расчет на статическую прочность выполняют как проверочный. При расчете на усталость необходимо прежде всего установить характер цикла изменения напряжений.

Вследствие вращения вала напряжения изгиба в различных точках его поперечного сечения изменяются по симметричному циклу, даже при постоянной величине нагрузки *.

* Исключение составляют случаи, когда нагрузка вращается вместе с валом (центробежная сила).

Напряжения кручения изменяются пропорционально изменению
нагрузки. В большинстве случаев трудно установить действительный
цикл нагрузки машины в условиях эксплуатации. Тогда расчет выпол­
няют условно по номинальной нагрузке, а цикл напряжений прини­
мают симметричным для напряжений изгиба (рис. 14.4, а) и пульса-
ционным для напряжений кручения (рис. 14.4, б).

        Выбор пульсационного цикла для напряжений кручения обосновывают тем, чтобольшинство машин работает с переменным крутящим моментом, а
знак момента изменяется только у реверсивных машин. Неточность такого приближенного расчета компенсируют при выборе запасов прочности.

Приступая к расчету, предположительно намечают опасные сечения вала, которые подлежат проверке (сечения 1-1 и 2-2, рис.
14.3). При этом учитывают характер эпюр изгибающих и крутящих
моментов (см. рис. 14.3), ступенчатую форму вала и места концентра-
ции напряжений (см. рис. 14.1).

Для опасных сечений определяют запасы усталостной прочности и сравнивают их с допускаемыми.

При совместном действии напряжений кручения и изгиба запас усталостной прочности определяют по формуле

В этих формулах σ_а, и τ_а  — переменные составляющие циклов напряжений, а σ_м и τ_м  — постоянные составляющие.

Согласно принятому выше условию (см. рис. 14.4) при расчете валов и  и  — коэффициенты, корректирующие влияние постоянной со­ставляющей цикла напряжений на усталостную прочность.

=0.05;  =0—углеродистые мягкие стали; =0,1; =0.05— среднеуглеродистые стали; =0.15; =0.1 легированные стали.

     и  -                   пределы     усталости (определяют по таблицам или приближенным формулам) 

 и  — масштабный фактор и фактор качества поверхности (опре-

деляется по графикам рис. 14.5 и 14.6); и — эффективные

коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (ориенти-ровочно можно назначить по табл. 14.1) *.

График значений масштабного фактора   (рис. 14.5, где 1— углеродистая сталь при отсутствии концентрации напряжений; 2 — легированная сталь при отсутствии концентрации напряжений и углеро-

дистая сталь при умеренной концентрации напряжений ( 2);

3 — легированная сталь при наличии концентрации напряжений) и график значений фактора качества поверхности е,, (рис. 14.6, где 7 — шлифование тонкое; 2 — обточка чистовая; 3 — обдирка; 4 —необработанная поверхность с окалиной и т. п.), а также табл. 14.1позволяют отметить, что с увеличением предела прочности стали с„

повышается ее чувствительность к резким изменениям формы, к влиянию качества поверхности и размеров детали. Это означает, что при разработке конструкции валов из высоко прочных сталей следует уделять особое внимание уменьшению концентрации напряжений и повышению качества поверхности.

Усталостную прочность детали можно значительно повысить,

применив тот или иной метод поверхностного упрочнения: азотирование, поверхностную закалку т. в. ч., дробеструйный наклеп, обкатку роликами и т. д. При этом можно получить увеличение

предела выносливости до 50% и более. Чувствительность деталей к поверхностному упрочнению уменьшается с увеличением ее раз­меров [13].

Формулы (14.4) относятся к расчету вала на весьма длительный срок службы, практически на срок амортизации. Если срок службы вала ограничен и число циклов перемены напряжений  N_ц<N_ц0  расчетный предел усталости можно повысить (см. рис. 10.34); обозначив его через ()р, запишем:

()р ()

Здесь показатель степени m вформуле (10.56) принят прибли­женно равным 9, а базовое число циклов N_ц0(случай знакопеременного изгиба).

Число циклов N_ц определяют по методике; которая была изложена в гл. 10, § И,

N_ц=60_nt

где n— в об/мин; t— число часов работы при полной нагрузке или близкой к ней.

Проверку статической прочности производят в целях предупреждения пластических деформаций с учетом кратковременных перегрузок (например, пусковых и т. п.). При этом определяют эквива­лентное напряжение по формуле

σ_эк= (14.10)

Здесь М_п изгибающий момент в опасном сечении при перегрузке; Т_п крутящий момент в опасном сечении при перегрузке.

Предельное допускаемое напряжение [σ] принимают близким к пределу текучести [σ]:

[σ]0,8 σ_т. (14.12)

Расчет на жесткость

Упругие перемещения вала отрицательно влияют на работу связанных с ним деталей: подшипников, зубчатых колес, катков фрикционных -передач и т. д.

От прогиба вала (рис. 14.7) в зубчатом зацеплении возникает концентрация нагрузки по длине зуба (см. рис. 10.9). При больших углах поворота 8 в подшипнике может произойти защемление вала

(см. правую опору на рис. 14.7). В металлорежущих станках упругие перемещения валов (в особенности шпинделей) снижают точность обработки и качество поверхности деталей. В делительных и отсчетных механизмах упругие перемещения снижают точность измерений и т. д. Величина допускаемых упругих перемещений зависит от конкретных требований к конструкции и устанавливается в каждом отдельном случае. Введение общих норм едва ли возможно и целесообразно. Некоторые из приближенных рекомендаций указаны ниже.

Для валов зубчатых передач стрела прогиба под колесом

[у]  0,01 m—передачи цилиндрические;

[у] 0,005 m  —конические, гипоидные, глобоидные передачи,

где m  — модуль зацепления.

 Угол взаимного наклона валов под шестернями  0,001 рад. В станкостроении для валов общего назначения (см. рис. 14.7),

[у] = (0,0002 -0,0003) L

где L— расстояние между опорами.

Угол поворота вала в подшипнике скольжения [ в радиальном шарикоподшипнике [] = 0,005 рад.Малая величина допускаемых перемещений иногда приводит к тому, что размеры вала определяются не прочностью, а жесткостью.

В этих случаях, очевидно, не целесообразно изготовлять вал из дорогих высокопрочных сталей (если это не диктуется какими-либо другими условиями, например износостойкостью цапф).Перемещения при изгибе в общем  случае целесообразно определять, используя интеграл Мора и способ Верещагина 

Определим, например, прогиб под шестерней     и угол поворота свободного конца вала в горизонтальной плоскости. При этом используем эпюры моментов   Вал считаем приближенно только двухступенчатым 

Для определения прогиба под силой F_tприкладываем здесь единичную силу.

 Эпюра изги-бающих моментов от этой силы  будет такой же,  как и от силы F_t только ее ординаты уменьшатся в F_t  раз.

Умножая площади эпюр от сил F_t и F_M ,( рис. 14.3) на ординаты эпюры (см. рис. 14.8, и) под их центрами тяжести, найдем прогиб у_г. (На рис. 14.3, г штриховая линия позволяет упростить вычисление прогиба от нагрузки F_M.) где

Аналогично найдем угол поворота свободного конца вала, приложив единичную пару к этому концу (рис. 14.8, б).

         Здесь рассматриваем два участка l и с (разные диаметры d₁ и d₂ ,ломанная линия эпюры от единичной пары).

1 / 1 - аЬ , 2 я . 1 ... яб . ! , ! - , 2

Таким же способом можно определить прогиб у_В угол поворота 6а в вертикальной плоскости, а затем найти суммарные значения перемещений:

Для простых расчетных случаев можно использовать готовые решения, приведенные в табл. При этом вал рассматривают как имеющий постоянное сечение некоторого приведенного диаметра.

Перемещение при кручении валов постоянного диаметра определяют по формуле

 где φ — угол закручивания вала, рад; Т — крутящий момент; Ġ — модуль упругости при сдвиге; L — длина закручиваемого участка вала; 7р = п<%*/32 — полярный момент инерции сечения вала.

Если вал ступенчатый и нагружен несколькими Т, деформацию определяют по участкам и затем суммируют.

Величина допускаемых углов закручивания валов колеблется в широких пределах в зависимости от требований, предъявляемых к механизму. 

Расчет на колебания

При решении поставленной задачи полагаем, что читателю известны методы расчета колебаний элементарных систем.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением

возмущающей силы или частота вынужденных колебаний системы; р — круговая частота свободных колебаний системы.

В целях выяснения сущности вопроса рассмотрим уравнение (14.14) в приложении к колебаниям вала для простейшего случая (рис. 14.9). Здесь на валу, вращающемся с угловой скоростью ω, закреплен диск массой т с эксцентриситетом e. Собственную массу вала считаем малой по сравнению с m и в расчет не принимаем (упругая система с одной степенью свободы).

На вал действует центробежная сила

вектор которой вращается с угловой скоростью ω.

Р^ = Ро СО8 (й^.

Силы Р_у и Р_z являются гармоническими возмущающими силами, которые вызывают колебания изгиба вала в направлении осей у и z.

Колебания от силы Р_у описываются уравнением (14.14), а от силы р

Р_z — аналогичным ему уравнением: 2 = , -_ ^ сов ю?.

Частота собственных колебаний изгиба

где 8 = Уст/(я^?) — податливость вала или прогиб от единичной силы; у^ — статический прогиб вала от действия силы тяжести диска (т^).

Уравнение (14.14) позволяет отметить, что при ю-^-р, у->оо и при (о = р наступает резонанс, при котором может произойти раз­рушение вала (машины).

Таким образом, даже при ничтожно .малой неуравновешенности в условиях резонанса можно ожидать разрушения машины .

Частоту вращения (об/мин), при которой наступает резонанс,

называют критической .

Если угловая скорость ω будет больше ω_кр = р, система при разгоне перейдет зону резонанса и снова стабилизируется. Во избежание поломок зону резонанса следует проходить быстро. Задержки в этой зоне не допускаются.

При ω > р амплитуда колебаний меняет свой знак Установим, что практически это означает: полная амплитуда

Здесь учтено: кт^ ю^ + соз^ ю^ = 1; Рд

При ω>p r будет направлена противоположно е и при ω»p r→(-e). Таким образом, за критическом зоной центр тяжести несбалансированной массы приближается к геометрической оси вращения.

Это явление используют в высокоскоростных механизмах, когда для сохранения устойчивости устанавливают гибкий вал с низкой собственной частотой р.

 За предел вибрационной устойчивости обычно принимают: для жестких валов n<0,7 n_кр, для гибких валов n>1,3n_кр

При действии переменных крутящих моментов в системе возбуждаются крутильные колебания, которые можно проанализировать подобным же способом.

{/spoilers}