Теории прочности

{spoiler=Далее}

Теории прочности

Гипотезы о преимущественном влиянии на прочность материала при сложном сопротивлении того или иного фактора (деформированного состояния) называют теориями прочности.

Известны пять теорий прочности:

1) теория наибольших нормальных напряжений;

2) теория наибольших линейных деформаций;

3) теория наибольших касательных напряжений;

4) энергетическая теория формоизменения;

5) теория прочности Мора.

Подавляющее большинство деталей машин, которые при работе могут находиться в сложном напряженном состоянии, изготовлены из пластичных и малопластичных материалов – это конструкционные материалы, начиная от алюминия и кончая легированными сталями. Для таких материалов наиболее подходят третья и четвертая теории прочности, так как они хорошо подтверждаются экспериментальными данными. Здесь коротко рассмотрим третью теорию прочности, как наиболее простую, но дающую достаточную точность для инженерных расчетов.

По теории наибольших касательных напряжений в качестве фактора, определяющего прочность материала, принимается величина наибольшего касательного напряжения. Предполагается, что предельное состояние при сложном сопротивлении наступит тогда, когда наибольшее касательное напряжение t_max достигнет опасного значения, соответствующего предельному состоянию данного материала при растяжении. Условие прочности в этом случае имеет вид:

£

В соответствии с общей теорией прочности, которая здесь не рассматривается, после преобразований можно переписать это условие прочности для эквивалентного напряжения в следующем виде:

£                         (15.1)

         Таким образом, брус, в материале которого при сложном сопротивлении возникают нормальное s и касательное t напряжения, может быть заменен брусом, подверженным только линейному растяжению. Напряженные состояния этих брусьев будут равноопасны, когда напряжение в растянутом брусе достигнет значения, определяемого формулой (15.1).

§ 15.3. Изгиб с кручением

         Рассмотрим случай сложного сопротивления вала, нагруженного изгибающим и крутящим моментом. При подобных рас- четах происходит за- мена реальной кон- струкции и нагрузок расчетной схемой.

На рис. 15.1 по- казана эта замена и  необходимые для рас- расчета эпюры напря- жений. Вал 1 (рис. 15.1а) вращается на двух конических под-шипниках и нагружен крутящим и изгибаю- щим моментами, воз­никающими при пере- даче движения от ко- созубогоцилиндри- ческого зубчатого ко- леса 2 к полумуфте 1, служащей для соеди- нения с другим соос- ным валом. На рис. 15.1б приведена рас- четная схема этой  конст­рукции. Вал представлен в виде двухопорной балки с поперечным высту-пом, имеющим раз- мер равный радиусу делительной окруж- ности зубчатого колеса (d/2) и распо- ложенный по оси  симметрии этого ко- леса. Под­шипники вала заменены шар-                                                                   нирно-неподвижными   опорами, так как практически можно считать, что подшипники качения (даже ролико­вые конические) вследствие упругих деформаций тел качения и колец допускают весьма малые деформативные повороты вала при изгибе.

Действительные распределенные нагрузки в зацеплении, ступицах колеса и полумуфты и в подшипниках заменены сосредоточенными силами. Нагрузки в зацеплении заменяются силами, действующими в полюсе зацепления, то есть на конец поперечного выступа балки:

F_t – окружная сила, F_r – радиальная сила и F_a – осевая сила. Кру­тящий момент Т действует на полумуфте. Поперечная сила F_М, дейст­вующая на конце вала со стороны муфты – это сила, возни­кающая  из-за неизбежной несо­осности соединяемых валов.

На рис. 15.1в силы, действующие на конец поперечного вы­ступа F_t, F_r и F_a приве­дены  к оси вала (балки) и показаны раздельно в вертикальной и гори­зонтальной плоскостях. Перенос радиаль­ной силы F_r не вызы­вает никаких измене­ний. Перенос осевой силы F_a привел к

возникновению момента М_а = 0,5F_ad в верти­кальной плоскости, а перенос окружной силы F_t – к возникновению момента Т = 0,5F_td в горизонтальной плос­кости.

       Определим реак­ции в опорах от действующих сил и моментов. Осевая  сила F_a вы­зывает появле­ние осе­вой реакции Н₁ в левом под-шипнике.

      Чтобы построить эпюры изгибающих моментов и определить величины этих момен­тов по методу сечений, надо найти составляю­щие радиальных реак­ций опор  от  действия каждой силы и момента. Рассмотрим сначала вертикальную  плоскость.

 Реакция А₁ левой опоры в вертикальной плоскости (рис. 15.1в) складывается из составляющей А₁₁ от радиальной силы F_r и   составляющей А₁₂ от действия момента М_А:

        Составляющую А₁₁ найдем из условия статики: сумма моментов относительно точки В равна нулю, причем момент, направленный против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке – отрицательным (учитываем только силу F_r):

Отсюда:

Максимальную величину эпюры моментов от радиальной силы (рис. 15.1г) найдем, как действие реакции А₁₁ на плече а:

Составляющую А₁₂ найдем из такого же условия статики, но при учете только момента М_а в вертикальной плоскости:

Отсюда:

Максимальную положительную величину эпюры от действия момента М_а (рис. 15.1г) найдем как действие реакции А₁₂ на плече а:

Максимальную отрицательную величину эпюры от действия момента М_а (рис. 15.2г) найдем, произведя аналогичные действия, но с учетом реакции В₁₂ на плече b:

         Перейдем теперь к горизонтальной плоскости.       

Реакция А₂левой опоры в горизонтальной плоскости (рис. 15.1в) складывается из составляющей А₂₁ от окружной силы F_r и составляющей А₂₂ от действия поперечной силы F_M:

         Составляющую А₂₁ найдем из условия статики: сумма моментов относительно точки В равна нулю, причем момент, направленный против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелки – отрицательным (учитываем только силу F_t):

Отсюда:

Максимальную величину эпюры моментов от окружной силы (рис. 15.1д) найдем, как действие реакции А₂₁ на плече а:

         Максимальную величину эпюры моментов от поперечной силы (рис. 15.1д) найдем как действие силы F_M на плече с:

         На рис. 15.1е показана эпюра крутящего момента Т.

         Эпюры изгибающих моментов дают возможность определить суммарный момент, действующий в любом сечении вала. Для расчета на прочность следует находить изгибающие моменты в опасных сечениях, то есть там, где нагрузка может быть максимальной. Судя по внешнему виду эпюр, опасными являются сечения I и II (рис. 15.1б).

         Найдем максимальный изгибающий момент в сечении I. При этом учтем, что на рис. 15.1г показаны эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости, на рис. 15.1д – в горизонтальной. Величина момента в сечении I от поперечной силы F_M определяется из пропорции, понятной из рис. 15.1д. В результате, суммарный изгибающий момент в сечении I:

(Нм)

         Затем определяется  суммарный изгибающий момент в сечении II. Величины моментов в сечениях I и II сравниваются и, если диаметры вала в этих сечениях одинаковые, то в дальнейших расчетах учитывается максимальный момент. Если диаметры разные, то следующие расчеты надо сделать для двух опасных сечений.

Рассмотрим действие моментов в сечении I.

         Во-первых, в этом сечении имеет место прямой изгиб от действия результирующего изгибающего момента М. Нормальные напряжения от этого момента достигают наибольших значений в крайних волокнах вала и определяются по формуле:

                                          (15.2)

         Во-вторых, в этом же сечении действует крутящий момент Т. Поэтому в крайних волокнах вал по всему периметру сечения возникают максимальные касательные напряжения от этого момента, определяемые по формуле:

                                        (15.3)

         Согласно формулам полярного и осевого моментов инерции для круглого сечения (см. §13.3 и §14.3) полярный момент инерции круглого сечения в два раза больше, чем осевой, то есть, W_p = 2W. Тогда:

         Чтобы найти эквивалентное напряжение по третьей теории прочности, подставим выражения (15.2) и (15.3) в (15.1):

После преобразований получим:

                                (15.4)

         Можно считать, что числитель предыдущего выражения является эквивалентным моментом:

Тогда:

                                   (15.5)

где W – осевой момент сопротивления сечения I:

                                     (15.6)

Подставим (15.6) в (15.5). Для получения условия прочности при этом надо учесть, что эквивалентный момент рассчитан в Нм, а диаметр вала определяется в мм. Поэтому надо уравнять размерности. Кроме того, обычно принимают π/32 = 0,1. Тогда условие прочности будет иметь следующий вид:

£                            (15.7)

Допускаемое напряжение принимают близким к пределу текучести:

Для конструкционных углеродистых и легированных сталей значение допускаемого напряжения колеблется в следующих пределах:

 МПа

Конкретное значение выбирается по справочникам (см., например, [17]) в зависимости от марки стали и диаметра вала.

{/spoilers}