Элементы автоматического регулирования и математические характеристики систем . Исполнитель

Элементы автоматического регулирования и математические характеристики систем .

Цель: Изучение элементов систем автоматического регулирования, их характеристики  и уравнения

План:

1. Понятие о функциональных элементах САУ.

2.Понятие о динамических звеньях САУ.

1. Принцип составления уравнения движения элементов САУ.

 {spoiler=Подробнее}

Элемент системы — простейшая неделимая часть системы. Ответ на вопрос, что является элементом системы, зависит от цели рассмотрения исследуемого объекта. Любая система может быть рассмотрена как эле­мент системы более высокого порядка, в то время как ее элементы могут выступать в качестве систем более низкого порядка.

Одной из основных характеристик любой системы является ее структура, под которой понимают совокупность элементов и связей между ними, определяемых исходя из распределения функций и целей, поставленных перед системой.

	ЗО		У		ИО		УО

 

                                                                                                       y(t)     

 

   В теории автоматического управления все элементы систем рассматриваются с двух точек зрения:

1. По их функциональному назначению или функциональным характеристикам, т.е. по операциям, которые выполняют элементы (измерение, усиление, сравнение, преобразование, исполнение). В этом случае вводится понятие функциональный элемент.
2. По динамическим характеристикам, которые определяются видом переходного процесса в элементе при заданном типе возмущения.

   При анализе и синтезе САУ считается, что характеристики объекта регулирования заданы или могут быть найдены, тогда объект может рассматриваться с точки зрения динамического поведения, как один из элементов системы регулирования.

   В САУ элементы чаще всего работают в неустановившихся, нестационарных режимах. Это происходит потому, что внешнее возмущение изменяется, как правило непрерывно и случайно, последнее приводит к непрерывному изменению входной и выходной величины каждого элемента системы. Поэтому для элемента важно определить его поведение в нестационарных режимах, в динамике, т.е. уметь исследовать динамические свойства элементов.

   Динамические свойства элементов в неустановившемся режиме как правило описывается дифференциальными уравнениями. В результате физическая задача определения изменения выходной величины элемента при установившемся режиме, когда непрерывно изменяется входной сигнал сводится к математической задаче составления дифференциального уравнения и отыскания решения этого уравнения.

   При составлении дифференциальных уравнений используются основные законы той отрасли науки и техники, к которой относится исследуемый элемент.

   Это могут быть законы Кирхгофа для электрических цепей, законы Ньютона для механических устройств и др.

   Дифференциальные уравнения, составленные для случая изменяющихся во времени входных и выходных величин системы называются уравнениями динамики или уравнениями движения.

   Этими уравнениями описываются все динамические свойства элементов и систем.

   Наименьшее число независимых переменных координат, необходимое и достаточное для того, чтобы движение системы было определено, называется числом степеней свободы.

   Элемент системы или группу элементов системы, обладающую в совокупности одной степенью свободы называют элементарным динамическим звеном или звеном системы.

   Дифференциальные уравнения звеньев системы с одной степенью свободы имеют порядок не выше второго.

   Разновидностей элементарных линейных звеньев, с которыми практически приходится иметь дело немного. И всё многообразие конструктивных элементных схем, с точки зрения общности их динамических свойств, можно свести к ограниченному числу эквивалентных им звеньев. Поэтому типовые звенья описываются дифференциальными уравнениями нулевого, первого и максимум второго порядка.

y = kx – уравнение нулевого прядка.

T(dy(t)/dt) + y(t) = kx(t) – уравнение первого порядка.

T2²(d²y(t)/dt) + T1(dy(t)/dt) +y(t) = kx(t) – уравнение второго порядка.

        

Уравнение движения звена или уравнения динамики его определяет значение выходной величины в функции входной величины и времени и в общем виде может быть записано как:

y = f(x; t).

   Рассмотрим примеры составления уравнений движения звеньев САУ.

1. Элементарное звено – простое рычажное устройство.

                                                                 Структурная схема.

                                              б

  

                                                          y       x                            y

 

x

     a

В качестве входной величины примем перемещение точки а от состояния равновесия (горизонтальное) и обозначим Х. В качестве выходной – перемещение точки б, обозначим его Y.

   Уравнение движения для такого звена будет иметь вид

y = kx.

   В данном случае Y не зависит от времени t, следовательно любое изменение Х сразу же без задержки вызывает пропорциональное  изменение Y. Такое звено называется пропорциональным и безинерционным.

   Величина К, равная отношению плеч звена представляет собой коэффициент усиления или в общем виде коэффициент передачи.

   Коэффициент К показывает во сколько раз изменится выходная величина по отношению к изменению входной величины в установившемся режиме.

   Примером безинерционного пропорционального звена может служить электронный усилитель с малой постоянной времени Т.

1. Пассивный четырёхполюсник из R-C цепочки.

U_вых = f(U_вх).

                                                                 

 Структурная схема.

                             R  

 +                                                                       U_вх                       U_вых

                             i     

U_п         U_вх                              с

 -

   На основании 2-го закона Кирхгофа можем записать:

  

                            t

  U_вх = iR + (1/c)òidt.

                            0

                        t  

  U_вых =  (1/c)òidt.

                       0

 Продифференцируем последнее выражение:

c(dU_вых/dt) = i.

  Обозначим Т = cR.

  T(dU_вых/dt) + U_вых = U_вх – уравнение движения.

   Общий вид этого уравнения:

T(dU_вых/dt) + U_вых = КU_вх.

   В этом уравнении Т имеет размерность времени и называется постоянной времени звена (цепи).

К – безразмерный коэффициент преобразования, пропорциональности, передачи. Это статический коэффициент.

Т – динамический параметр цепи.

К=U_вых/_Uвх.

   Для данного звена К » 1.

   Из схемы и уравнения звена видно, что при подаче на вход четырёхполюсника напряжения Uвх напряжение на выходе Uвых установится не сразу, оно будет нарастать на конденсаторе по экспоненте.

   Если решить уравнение (1) относительно Uвых, то получим следующее выражение:

U_вых =  U_уст(1 – e ^(-t/T)).

   U_уст – установившееся значение напряжения выхода.

     U_вх   U_вых   

      U_вх                                               U_уст 

   0.632

 

                    

               T                                                  t     

   Если взять текущий отрезок времени t, равный постоянной времени Т, т.е. t = Т и подставить в уравнение Uвых, то получим:

Uвых =  Uуст(1 – e^(-1)) = 0.632Uуст.

Т – постоянная инерционного звена – промежуток времени, в течение которого напряжение на конденсаторе нарастает до 0.632 установившегося значения.

   Коэффициент К и постоянная времени Т в теории и практике играют очень большую роль – это характеристики звена. В целом данное звено инерционное, апериодическое.

   Постоянная времени Т характеризует скорость нарастания выходной величины в переходном процессе.

   Рассмотрим характер влияния Т и К на вид переходного процесса рассматриваемого звена.

   K = const, T₁ и T₂.

   Пусть Т₂>Т₁.

             U_вых  

                                                    U_уст   

 

   0.632U_уст

                                                                        t

                          T₁  T₂ 

  Влияние коэффициента К.

 Т = const, К₁ и К₂.

   Пусть К₂>К₁. К₁ = 1, К₂ = 2.

 

                U_вх     U_вых                            U_уст2

 

      0.632U_уст2                      U_вых2    

                  U_вх                                                             

       0.632U_уст1                      U_вых1      U_уст1 

 

                                   T  

   Увеличение К ведёт к увеличению колебательности звена.

1. Рассмотрим l-R цепочку.

 

             L   

U_вх              R            U_вых      U_вх                                                 U_вых         

 

Согласно второму закону Кирхгофа:

U_вх = L(di/dt) + iR.

iR = U_вых.

   Продифференцируем последнее выражение:

di/dt = (1/R)(dU_вых/dt).

U_вх = (l/R)(dU_вых/dt) + U_вых.

   Обозначим (l/R) = Т – постоянная времени цепи.

   Получаем уравнение движения:

Т(dU_вых/dt) + U_вых = U_вх,  здесь К = 1.

   Данное звено тоже инерционное или апериодическое с параметрами: Т – постоянная времени цепи звена (цепи), характеризующая скорость нарастания выходной величины и К – коэффициент передачи, характеризующий статический режим работы звена, т.е. с каким усилением входная величина передаётся на выход.

1. Рассмотрим С-R цепочку.

            С

         

   U_вх        i          R         U_вых                U_вх                                                 U_вых      

 

 Согласно второму закону Кирхгофа:

U_вх = (1/c)òidt + iR.

iR = U_вых.

 Подставляем: U_вх = (1/c)òidt + U_вых.

 Дифференцируя левую и правую части последнего уравнения получим:

dU_вх/dt = (1/c)i + dU_вых/dt.

   Подставив в последнее выражение для i, получим:

i = U_вых/R, dU_вх/dt = U_вых/(RC) + dU_вых/dt.

   Обозначим RC = T – постоянная времени цепи. 

   Получаем уравнение:

dU_вых/dt + U_вых/T = dU_вх/dt.

   Или окончательно уравнение движения звена будет иметь вид:  

T(dU_вых/dt) + U_вых = T(dU_вх/dt).

   Переходная характеристика:

        U_вх U_вых

        U_вх  

                          U_вых 

                                                             t

   Уравнение показывает, что выходная величина данного звена будет появляться только тогда, когда есть изменение входной величины.

   Данное звено является дифференцирующим. Член dU_вых/dt показывает, что величина U_вых будет изменяться с инерцией (т.е. есть скорость её нарастания), поэтому данное звено является инерционным дифференцирующим звеном или на практике его называют реальным дифференцирующим звеном.

1. Рассмотрим R-L цепочку.

 

                    R        i       L         

   U_вх                                         U_вых  

 

  Согласно второму закону Кирхгофа:

U_вх = L(di/dt) + iR.

L(di/dt) = U_вых.

   Подставляем U_вых:

U_вх = U_вых + iR.

   Продифференцируем последнее уравнение:

dU_вх/dt = R(di/dt) + dU_вых/dt.

   Подставив (di/dt) получим:

dU_вх/dt = (R/L)U_вых + dU_вых/dt.

   Обозначим Т = L/R, и подставим в последнее уравнение:

dU_вх/dt = U_вых/Т + dU_вых/dt.

   Окончательно уравнение движения данного звена будет иметь вид:

ТdU_вых/dt + U_вых = ТdU_вх/dt.

   Данное звено является инерционно-дифференцирующим или реально  дифференцирующим звеном.

        U_вх U_вых

        U_вх  

                          U_вых

                                                             t

   Итак любой элемент или узел системы может быть рассмотрен как функциональный элемент или как динамическое звено.

   По функциональному назначению, т.е. по основным операциям, которые выполняются элементами они делятся на:

1. задающие элементы
2. чувствительные (измерительные) элементы
3. элементы сравнения
4. усилительные элементы
5. промежуточные элементы
6. исполнительные      элементы
7. управляющие или регулирующие элементы.

  Эти элементы могут быть отдельно в составе регулятора, либо выделяются в составе объекта.

       Передаточная функция систем

1)

  вх                 ¼¼              вых

  Передаточная функция последовательно соединенных звеньев :

2)

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев:                       

 вх                   вых

          

     :           :     

     :           :     

     :           :    

         

          

3)                    y(t)                                                     Передаточная функция системы

x(t) ¾Ä¾¾¾   ¾¾¾¾                                 с обратной связью:

                           

            

       

Контрольные вопросы:

1. Приведите понятие функционального элемента.
2. Что отражают динамические звенья системы?
3. Получите уравнение динамики цепочки и RLC.
4. Как влияют коэффициенты К и Т на качественные показатели элемента?

{/spoilers}