Электродинамические силы в электрических аппаратах. Исполнитель

Электродинамические силы в электрических аппаратах.

          План:

1. Общие сведения.
2. Методы расчета электродинамических усилий (э.д.у.) и направление их действия.
3. ЭДУ в кольцевом витке и между кольцевыми витками.
4. ЭДУ в проводниках переменного сечения.
5. ЭДУ между проводником с током и ферромагнитные массы.
6. ЭДУ при переменном токе. Механический резонанс.

 {spoiler=Подробнее}

Общие сведения.

При коротком замыкании в сети через токоведущую часть аппарата могут проходить токи, в десятки раз превышающие номинальный. Эти токи, взаимодействуя с магнитным полем, создают электродинамические силы, которые стремятся деформировать как сами проводники, так и изоляторы, на которых они крепятся.

Электродинамической стойкостью аппарата называется его способность противостоять силам, возникающим при прохождении токов короткого замыкания. Эта величина может выражаться либо непосредственно амплитудным значением тока  i_дин, при котором механические  напряжения в деталях аппарата  не выходят за пределы допустимых значений, либо кратностью этого тока относительно амплитуды номинального тока

                                                     k_дин = i_дин /I_н.                            (1)

Иногда динамическая стойкость оценивается действующим значением ударного тока за период после начала короткого замыкания.

2.Методы расчета электродинамических усилий (э. д. у.) и направление их действия.

а) Методы расчета. Для расчета  э. д. у. используются два метода. В первом – сила рассматривается как результат взаимодействия проводника с током и магнитного поля. Если элементарный проводник  d I, м, с током  i, A, находится в магнитном поле с индукцией B, Т, создаваемой другими проводниками (рис. 1, а), то сила dF, Н, действующая на этот элемент, равна:

                                  dF = i d I× B = i B dlsinβ,                                     (2)

где  i – ток; β –угол между векторами элемента d I и индукции  B, измеряемый углом поворота вектора d I до вектора B по кратчайшему расстоянию. За направление d I принимается направление тока в элементе. Направление индукции B, создаваемой другим проводником, определяется по правилу буравчика, а направление силы – по правилу левой руки.

Описанный метод рекомендуется применять тогда, когда можно аналитически найти индукцию в любой точке проводника, для которого необходимо определить силу. Индукцию определяют, используя закон Био-Савара-Лапласа.

Второй закон основан на использовании энергетического баланса системы проводников с током. Если пренебречь электростатической энергией системы и принять, что при деформации токоведущих контуров или при их перемещении под действием э. д. у. токи во всех контурах остаются неизменными, то силу можно найти по уравнению

                                                           F = dW/dx,                                              (3)

где  W – электромагнитная энергия;

        x – возможное перемещение в направлении действия силы.

Таким образом, сила равна частной производной от электромагнитной энергии данной системы по координате, в направлении которой действует сила. При расчете э. д. у., действующих при коротком замыкании величины токов в контурах можно считать неизменными.

Электромагнитная энергия системы обусловлена как энергией магнитного поля каждого изолированного контура, так и энергией, определяемой магнитной связью между контурами, и для двух взаимосвязанных контуров равна:

                                 W = L₁i₁² +L₂i₂² + Mi₁i₂,                                           (4)

где  L₁ и L₂ – индуктивности контуров;

           i₁ и i₂ – токи протекающие в них;

M – взаимная индуктивность.

Первые два члена уравнения определяют энергию независимых контуров, а третий член дает энергию, обусловленную их магнитной связью. Это уравнение дает возможность рассчитать как силы, действующие в изолированном контуре, так и силу взаимодействия контура со всеми остальными.

При расчете силы взаимодействия контуров мы считаем, что энергия изменяется только  в результате изменения взаимного расположения контуров. При этом энергия, обусловленная собственной индуктивностью, считается неизменной. В данном случае сила взаимодействия между контурами равна:

                                                                               (5)

Энергетический метод удобен, когда известна аналитическая зависимость индуктивности или взаимной индуктивности т геометрических размеров.

б) Направление действия  э. д. у. Найдем направление силы, действующей на элемент dl₁ с током  i₁ (рис 1. б). линия индукции  В₂, создаваемой током  i₂, является окружностью с радиусом  r, лежащей в плоскости, перпендикулярной  l₂. направление силы dF₁ определяется по правилу левой руки и показано на рис.1.б.

Для плоской задачи, когда все проводники лежат  в одной плоскости, результирующая суммарная индукция, действующая на проводник, всегда перпендикулярна к этой плоскости, а сила лежит в плоскости. Направления э.д.у. для некоторых случаев расположения проводников в одной плоскости показаны на рис.2.

В том случае, когда для определения э.д.у. пользуются энергетической формулой, направление силы находят из следующих соображений. Согласно (3) положительному направлению силы соответствует возрастание энергии системы  dW/dx>0.

Таким образом, сила действующая на токоведущие части, направлена так, чтобы электромагнитная энергия системы возрастала.

Для кольцевого контура (рис.3)

                                      ,                   (6)

где    Ψ – потокосцепление

         Ф – поток

          ω – число витков в контуре.

В этом случае э.д.у. действует по радиусу, растягивая контур, так как при этом индуктивность, потокосцепление и поток возрастают.

В случае двух витков (рис. 4) или катушек с разными направлениями токов сила F направлена так, чтобы отбросить витки друг от друга, так как потокосцепление увеличивается с ростом расстояния h. Минимальное потокосцепление будет иметь место при  h=0. Если  токи текут в одинаковом направлении, то витки притягиваются.

3.ЭДУ в кольцевом витке и между кольцевыми витками.

Расчет э.д.у. в витке. Рассмотрим расчет силы в круговом витке  рис.3. Индуктивность, Г, такого витка с точностью до 1% (при условии, что  r/R≤0.25) выражается формулой

                                                                  (7)

Поскольку известна аналитическая зависимость индуктивности от размеров витка, при определении э.д.у.целесообразно  воспользоваться энергетическим методом. Сила, действующая в витке направлена по радиусу; с ростом радиуса возрастает индуктивность, а следовательно, электромагнитная энергия проводника

                                                .

Эта сила Н, равна:

                                                .                                           (8)

Из уравнений (7) и (8) получим:

                                               .

Сила  F_R приложена к окружности длиной 2πR. При расчете электродинамической стойкости необходимо знать силу F_q, разрывающую виток.

Для определения F_q рассмотрим уравнение равновесия полувитка.

Очевидно, что

                                                        (9)

где  f_R – сила, действующая на единицу длины, равная    .

После интегрирования получим:

                                              (10)

Если круговой виток находится в равномерном магнитном поле, создаваемом другими проводниками, то, кроме внутренних сил, возникает дополнительная сила в результате взаимодействия тока витка с внешним полем.

Сила взаимодействия между витками и катушками. Рассмотрим силу взаимодействия двух круговых витков (рис. 4). Если расстояние между витками соизмеримо с их диаметрами и последние мало отличаются друг от друга, то взаимная индуктивность, Г, может быть выражена простой формулой

                          (11)

где  с=R₂ –R₁.

Рассмотрим силу, действующую на контур с током i₂.

Вертикальная составляющая силы согласно (3) есть

                            (12)

Горизонтальная составляющая равна:

                                     (12a)

В уравнениях  (12) и (12а) надо учитывать направления токов i₁ и i₂.

Первое слагаемое – сила, возникающая в контуре за счет  тока i₂, второе – в результате воздействия витка с током  i₁. зависимости сил F_h и F_R2 от расстояния h показаны на рис.5.

4.ЭДУ в проводниках переменного сечения.

При изменении сечения проводника линии тока искривляются, в результате сила F, действующая на линию тока, получает продольную F₂ и поперечную F₁ составляющие. Продольная составляющая стремится разорвать место перехода вдоль оси проводника (рис.6) и направлена в сторону большего сечения:

                   .                       (13)

Электродинамическая сила, возникающая при изменении сечения, зависит только от отношения конечного и начального радиусов и не зависит от формы перехода при осесиметричном проводнике.

5.ЭДУ между проводником с током и ферромагнитные массы.

Рассмотрим проводник с током вблизи ферромагнитной стенки с бесконечной магнитной проницаемостью. При приближении проводника к стенке магнитная проводимость, а следовательно, и поток увеличиваются, так как сокращается путь потока по воздуху. На проводник действует сила, притягивающая его к стенке:

                                                                (14)

Магнитное поле не изменится, если ферромагнитную стенку отбросить, а вместо нее симметрично расположить второй проводник с током (рис.7.). Длина магнитной линии возрастет в 2 раза и намагничивающая сила возрастет в 2 раза. Тогда сила, действующая на проводник, может быть рассчитана по формуле

                                       Н.

В дугогасительных камерах аппаратов низкого и высокого напряжения применяется решетка из набора ферромагнитных пластин с пазом. Электрическая дуга, возникающая между контактами аппарата, является своеобразным проводником с током. Взаимодействие этого проводника с решеткой создает электромагнитную силу, двигающую дугу.

Рассмотрим силу, действующую на проводник (дугу), симметрично расположенный в пазу клиновидного сечения (рис. 8). Дуга находится левее координаты x + dx/2. при расчете пренебрегаем магнитным сопротивлением стали и потоками рассеяния, выходящими из торца решетки.

Сила, действующая на проводник (дугу), согласно (3) равна:

                             (15)

Определим элементарный поток dФ, связанный с проводником, находящимся на расстоянии х от устья решетки:

                                                             (16)

где  dG – магнитная проводимость промежутка длиной  и сечением l   dx;

       l – активная длина решетки.

Воспользовавшись  (15) и (16), получим:

   H,               (17)

  где - зазор, соответствующий координате х.

                      6.ЭДУ при переменном токе. Механический резонанс.

Однофазная цепь. Пусть ток не имеет апериодической составляющей и изменяется по закону

где  I_m - амплитудное значение тока; ω – угловая частота.

Если токи в проводниках имеют одинаковое направление, то проводники притягиваются и сила будет равна:

                                   (18)

где  F_m – максимальное значение силы, равное 10^-7 k_r×I²_m.

Таким образом, сила имеет постоянную составляющую F_m/2 и переменную составляющую двойной частоты (F_m/2)  cos2ωt. Среднее значение силы за период

                                         (19)

Где I – действующее значение тока.

Изменение силы во времени при переменном токе показано на рис 9.

 Механический резонанс. При расчете электродинамической стойкости аппарата нельзя упускать из виду возможность появления резонанса между гармонически меняющейся электродинамической силой и собственными механическими колебаниями деталей токоведущей цепи аппарата.

В случае когда частота переменной составляющей силы близка к собственной частоте механических колебаний, даже при сравнительно небольших силах возможно разрешение аппарата вследствие явлений резонанса. Для шин прямоугольного и круглого сечения эту частоту можно определить приближенно с помощью формулы

                                                         (20)

где      γ – плотность материала шины, кг/м³;

    g=9,81 м/с² – ускорение свободного падения;

           l – пролет между изоляторами, м;

           Е – модуль упругости материала шин, Па;

           J – момент инерции сечения шины, м⁴;

           q – сечение шины, м²;

           k – коэффициент, зависящий от характера крепления шин (k=11,2 при жестком креплении шин и изоляторов, k=7,8 при свободном креплении на одной опоре и жестком на другой; k=4,9 для шин, свободно лежащих на опорах).

Из формулы (20) видно, что для шин заданной формы и сечения собственная частота легко может изменяться за счет изменения пролета. Если не удается по каким – либо причинам получить собственную частоту ниже основной частоты силы, то выбирают собственную частоту механических колебаний выше двойной частоты силы.

При гибком креплении проводников собственная частота механических колебаний снижается. Благодаря эластичной подвеске энергия электродинамических сил только частично тратиться на деформацию токоведущих частей. Другая часть энергии тратиться на напряжение проводников и связанных с ними гибких подвесов. При этом механические напряжения в материале шин уменьшаются.

{/spoilers}