Элементы теории матриц. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (Гаусс, Крамер, обратной матрицы)

План:

1. Элементы теории матриц.
2. Метод Гаусса
3. Формулы методов Крамера и обратной матрицы.

Рассмотрим mxn действительных чисел, записанных в виде  прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов:

{spoiler=Подробнее}

                                      (1)

Такая  таблица чисел называется матрицей. Числа a_ij , которые входят в матрицу (I), называется ее элементами. Индексы i и j элемента a_ij указывает соответственно номера строки и столбца, в которых расположен элемент a_ij.

Часто матрицу (I) записывают сокращенно в виде A=[ a_ij ]

Матрица, все элементы которой  равны нулю, называется нулевой. Две матрицы называются  равными, если числа строк и столбцов другой и элементы этих матриц, расположенные на соответствующих местах, одинаковы.

От матрицы (I) перейдем к другой матрице

,

cтроками которой являются столбцы, а  столбцами строки матрицы А. Переход от матрицы А к матрицы А¹ называется операцией транспонирования матрицы А.  Ясно, что число строк и столбцов матрицы А¹ равно соответственно числу столбцов  и строк матрицы А. Если через a_ij¹ обозначает тот элемент матрицы А¹, который расположен на пересечении ее i-й строки и j-го столбца, то очевидно, что

                                                  a_ij¹=a_ji

Предположим, что число строк матрицы равно числу ее столбцов:

                                                   m=n:

                                                          (2)

В этом случае матрицу B называем квадратной матрицей порядка n. Матрица B, полученная квадратной, транспонированием B, также является матрицей порядка n.

Элементы a₁₁, a₂₂,…, a_nn образуют так называемую главную диагональ матрицы B; элементы a_1n, a_2n-1,..., a_n1 Легко понять, что транспонирование     матрицы    B   сводится     к  ее           повороту (в пространстве)  вокруг главной диагонали.

Действия с матрицами.

1. Равенство матриц. Две матрицы A=[a_ij] и B=[b_ij] считаются равными: A=B если они одного того же типа, т.е. имеют одинаковое число строк и столбцов, и соответствующие элементы их равны, т.е.

                                                   a_ij=b_ij

Суммой двух матриц A=[a_ij] и B=[b_ij] одинакового типа называется матрица C=[C_ij] того же типа, элементы которой C_ij равны суммам соответствующих элементов a_ij  и b_ij матриц A и B, т.е. C_ij= a_ij+b_ij. Таким образом,

Из определения суммы матриц непосредственно вытекает следующие ее свойства:

1. А+(В+С)=(А+В)+С;
2. А+В=В+А;
3. А+0=А.

Аналогично определяется разность матриц

1. A[aij] на число a (или произведением числа a а матрицу А) называется матрица А на число a, т.е.

Из определения произведения числа на матрицу непосредственно вытекают следующие его свойства:

1. 1A=A;
2. 0A=0
3. a(bab
4. (a+b)A=aA+bA;

(Здесь А и В матрицы; a и b-числа).

Заметим, что если матрица А квадратная порядка n, то

detaA=aⁿdetA.

Матрица -A=(-I )А  называется противоположной. Нетрудно видеть, что если матрицы А и В одинаковых типов, то             А-В=А+(-В)

3. Умножение матриц. Пусть

матрицы типов соответственно m x n и p x q. Если число столбцов матрицы А равно строк матрицы В, т.е. n=p, то для этих матриц определена С типа m x q , называемая   их произведением:

         ,

где С_ij=a_ijb_ij+a_i2b_2j+.....+a_inb_nj(i=1,2,...,m;j=1,2,...q).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящей в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц,   нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в столбцах матрицы В. В частности, можно перемножить квадратные матрицы лишь одинакового порядка.

Пример I. 

Пример II. 

Матричные произведение обладает следующими  свойствами:

1. A(BC)=(AB)C;
2. a(AB)=(aA)B;
3. (A+B)C=AC+BC;
4. C(A+B)=CA+CB.

Равенства   I)-4) понимаются в том смысле, что если одна из них частей существует, то другая часть также существует и они равны между собой.

Произведение двух матриц не обладает перемести                          тельным  свойством, т.е.., вообще говоря, АВ¹ВА, в чем можно убедиться на примерах

Пример III.

Метод Гаусса

Прямой ход алгоритма Гаусса. Для линейной системы

 запишем расширенную матрицу

                   а₁₁   а₁₂  .... а_1n          b₁

                   a₂₁    a₂₂  .... a_2n         b₂

                   ..............................

                   a_m1  a_m2  .... a_mn      b_m

отделив матрицу коэффициентов от столбца свободных членов.

С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы и перестановки столбцов коэффициентов при неизвестных матрица коэффициентов, являющаяся частью расширенной матрицы, приводится к трапециевидной форме:

Обратный ход алгоритма Гаусса. Полученная в результате прямого хода алгоритма Гаусса трапециевидная форма расширенной матрицы отвечает линейной системе, эквивалентной исходной. Нулевые строки расширенной матрицы соответствуют уравнениям вида.

0x₁+0x₂+...+0x_n=0

Их, очевидно, можно отбросить. Получим матрицу

   ,

Ранг этой матрицы равен k, первые к столбцов ее линейно независимы, образуя треугольную систему, все остальные столбцы представимы в виде линейных комбинаций этих столбцов.

Система, задаваемая этой матрицей, эквивалента исходной. Но уравнения полученной системы имеют вид (неизвестные могут быть перенумерованы):

и выражают базисные переменные через свободные.

Формулы методов Крамера и обратной матрицы.

1. AX=B, A-матрица (nxn), B и X-векторы,

B=,    X=(x₁,x₂, ... ,x_n)

здесь   определитель  основной матрицы.

  ,  i=1,n   , получим для каждого i с заменой коэффициентов неизвестных x_i,   i=1,2,...,n c свободными членами b_i ,  i=1,2,...,n.

1. X=A^-1B,    где A^-1-обратная матрица  матрицы A. 

    AA^-1=E, Е-единичная матрица.

{/spoilers}