Баланс: 0.00
Авторизация
placeholder
Openstudy.uz saytidan fayllarni yuklab olishingiz uchun hisobingizdagi ballardan foydalanishingiz mumkin.

Ballarni quyidagi havolalar orqali stib olishingiz mumkin.
Openstudy » Рефераты » Наука и техника (Рефераты) » Метод неопределенных множителей Лагранжа

Метод неопределенных множителей Лагранжа Исполнитель

Войдите на сайт, чтобы загрузить файл
Matn

Метод неопределенных  множителей Лагранжа

Пусть задана задача математического программирования:

минимизировать функцию

z=f(x1,   x2, .....,  xn)                                (1)

при ограничениях

gi (x1,   x2, .....,  xn)=0,     i=1,2,...., m.      (2)

 {spoiler=Подробнее}

Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума  функций нескольких  переменных. При этом полагаем, что функции

gi (x1,   x2, .....,  xn) и f(x1,   x2, .....,  xn),  i=1,2,...,m

непрерывны  вместе со своими первыми  частными производными.

Для решения задачи введем функцию

F(x1,   x2, .....,  xn, l1, l2, .....,  ln) =

                                 n

= li f(x1,   x2, .....,  xn)+ å li gi (x1,   x2, .....,  xn)              (3)

                                          i=1

или  вкратце

                   F(x, l0, A)= l0f(x)+ åligi(x),

где              X=(x1,  x2, ....,  xn), l=(l1l2,...., lm).

F-называется функций Лагранжа, l0, l1,..., lm - называется  неопределенными  множителями Лагранжа .При l0=1 получим   нормальную функцию Лагранжа. Из (5) по xj (i=1,2,...,n), и li(i=1,2...,n) переменным берем частные производные и приравнивая их к нулю , получим:

  F(X, l)/li=f(x)/ xj+åli * gi (X)/ x i, 

F(x, l)/li=gi(x)=0, j=1,2,...,n; i=1,2,...,m.

Таким образом  с помощью функции Лагранжа  система уравнений с неизвестными правиле к системы уравнения  n  неизвестными. И том задачи условной минимизации переведем к задачу безусловной минимизации. Точка X0, удовлетворяющей системы (2)  называется нормально-минимальной точкой, поставленная задача называется нормально минимальной задачей.

(x01, x02, ..., x0n, l01, l02,..., l0m) точка является решением поставленной задачи или стационарной  точкой функции Лагранжа.

          Пример,

                   f(x1, x2, x3)min= x1* x2 +x1 x1

                   g1(x1, x2, x3)= x1+ x2-2=0,

                   g1(x1  x2   x3)= x2+ x3-2=0.

Функция Лагранжа для данного примера имеет следующий  вид:

F(x1,  x2, x3 ,l1, l2=f(x1, x2, x3)+ åli gi (x1, x2, x3)=

= x1* x2+ x2* x3   +l1(x1+ x2-2)+ l2(x2+ x3-2);

F(x, l)/x1=0, F(x, l)/x2=0,

F(x, l)/x3=0, F(x, l)/l1=0, 

F(x, l)/l2=0.

Получим систему уравнения

x2+l1=0,

x1+ x3+l1+l1=0,

x2 +l2=0,

x1+ x2-2=0,

x2+ x3-2=0.

Из первого и третьего уравнения.

l1=l2=-xи так

x1+ x3-2x2=0,

x1+ x2-2=0,

x2+ x3-2=0.

x1-2x2=0,

x1+ x2=2,

x2+ x3=2.

Решая  полученную систему уравнений получим следующие  значения неизвестных

x1= x2 =x3=1

l1= l2=-1. Подставляя значения неизвестных в  целевую функцию имеем

f(x1, x2,  x3)=2.

Минимизация функции когда условии ограничений заданы в виде неравенств

f(x1, x2, ..., x3)®min ,                               (1)

gi(x1, x2,..., xn)<bi,  i=1,2,..., m                  (2)

Введем дополнительные переменные x2n+i

gi(x1, x2,...,  xn)+x2u+i=bi, i=1,m, или gi(x)+x2u+i-bi=0

или              x2u+i=bi-gi(x1, x2,...,  xn).                            (3)

Составим функции Лагранжа (нормальную)

F(X, l)=f(X)+ åli[gi(X)-bi+x2u+i]              (4)

для нахождения неизвестных 

x1, x2,...,  xn,.......,xn+m, l1, l2,... lm

берем частные производные   от функции F(X, l) по переменным

  X и l:

F(X, l)/xi=f(x)/ xj+åli*gi(x)/ xj, j=1,...., n

F(X, l)/xu+i=2lixn+i, i=1,..., n, li>0                        (5)

F(X, l)/li=gi(X)-bi+x2n+i

получим систему уравнений

f(X)/ xj+åli*gi(X)/ xj=0, j=1,..., n                   (6)

lixn+i=0, i=1,..., m, li³0

gi(X)-bi+x2n+i=0.

В данной системе li*xn+i=0  равносильно с равенством

li(bi-gi(Х))=0    из  (3).

Решая полученную систему уравнений находим значения искомых неизвестных  и  подставляя их в целевую функцию вычислим требуемый оптимум.

{/spoilers}

Развернуть полностью
Комментарии (0)
Комментировать
Кликните на изображение чтобы обновить код, если он неразборчив
Copyright © 2024 г. openstudy.uz - Все права защищены.
Наверх