Баланс: 0.00
Авторизация
Демонстрационный сайт » Рефераты » Наука и техника (Рефераты) » Метод неопределенных множителей Лагранжа
placeholder
Openstudy.uz saytidan fayllarni yuklab olishingiz uchun hisobingizdagi ballardan foydalanishingiz mumkin.

Ballarni quyidagi havolalar orqali stib olishingiz mumkin.

Метод неопределенных множителей Лагранжа Исполнитель


Метод неопределенных  множителей Лагранжа.doc
  • Скачано: 22
  • Размер: 72 Kb
Matn

Метод неопределенных  множителей Лагранжа

Пусть задана задача математического программирования:

минимизировать функцию

z=f(x1,   x2, .....,  xn)                                (1)

при ограничениях

gi (x1,   x2, .....,  xn)=0,     i=1,2,...., m.      (2)

 {spoiler=Подробнее}

Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума  функций нескольких  переменных. При этом полагаем, что функции

gi (x1,   x2, .....,  xn) и f(x1,   x2, .....,  xn),  i=1,2,...,m

непрерывны  вместе со своими первыми  частными производными.

Для решения задачи введем функцию

F(x1,   x2, .....,  xn, l1, l2, .....,  ln) =

                                 n

= li f(x1,   x2, .....,  xn)+ å li gi (x1,   x2, .....,  xn)              (3)

                                          i=1

или  вкратце

                   F(x, l0, A)= l0f(x)+ åligi(x),

где              X=(x1,  x2, ....,  xn), l=(l1l2,...., lm).

F-называется функций Лагранжа, l0, l1,..., lm - называется  неопределенными  множителями Лагранжа .При l0=1 получим   нормальную функцию Лагранжа. Из (5) по xj (i=1,2,...,n), и li(i=1,2...,n) переменным берем частные производные и приравнивая их к нулю , получим:

  F(X, l)/li=f(x)/ xj+åli * gi (X)/ x i, 

F(x, l)/li=gi(x)=0, j=1,2,...,n; i=1,2,...,m.

Таким образом  с помощью функции Лагранжа  система уравнений с неизвестными правиле к системы уравнения  n  неизвестными. И том задачи условной минимизации переведем к задачу безусловной минимизации. Точка X0, удовлетворяющей системы (2)  называется нормально-минимальной точкой, поставленная задача называется нормально минимальной задачей.

(x01, x02, ..., x0n, l01, l02,..., l0m) точка является решением поставленной задачи или стационарной  точкой функции Лагранжа.

          Пример,

                   f(x1, x2, x3)min= x1* x2 +x1 x1

                   g1(x1, x2, x3)= x1+ x2-2=0,

                   g1(x1  x2   x3)= x2+ x3-2=0.

Функция Лагранжа для данного примера имеет следующий  вид:

F(x1,  x2, x3 ,l1, l2=f(x1, x2, x3)+ åli gi (x1, x2, x3)=

= x1* x2+ x2* x3   +l1(x1+ x2-2)+ l2(x2+ x3-2);

F(x, l)/x1=0, F(x, l)/x2=0,

F(x, l)/x3=0, F(x, l)/l1=0, 

F(x, l)/l2=0.

Получим систему уравнения

x2+l1=0,

x1+ x3+l1+l1=0,

x2 +l2=0,

x1+ x2-2=0,

x2+ x3-2=0.

Из первого и третьего уравнения.

l1=l2=-xи так

x1+ x3-2x2=0,

x1+ x2-2=0,

x2+ x3-2=0.

x1-2x2=0,

x1+ x2=2,

x2+ x3=2.

Решая  полученную систему уравнений получим следующие  значения неизвестных

x1= x2 =x3=1

l1= l2=-1. Подставляя значения неизвестных в  целевую функцию имеем

f(x1, x2,  x3)=2.

Минимизация функции когда условии ограничений заданы в виде неравенств

f(x1, x2, ..., x3)®min ,                               (1)

gi(x1, x2,..., xn)<bi,  i=1,2,..., m                  (2)

Введем дополнительные переменные x2n+i

gi(x1, x2,...,  xn)+x2u+i=bi, i=1,m, или gi(x)+x2u+i-bi=0

или              x2u+i=bi-gi(x1, x2,...,  xn).                            (3)

Составим функции Лагранжа (нормальную)

F(X, l)=f(X)+ åli[gi(X)-bi+x2u+i]              (4)

для нахождения неизвестных 

x1, x2,...,  xn,.......,xn+m, l1, l2,... lm

берем частные производные   от функции F(X, l) по переменным

  X и l:

F(X, l)/xi=f(x)/ xj+åli*gi(x)/ xj, j=1,...., n

F(X, l)/xu+i=2lixn+i, i=1,..., n, li>0                        (5)

F(X, l)/li=gi(X)-bi+x2n+i

получим систему уравнений

f(X)/ xj+åli*gi(X)/ xj=0, j=1,..., n                   (6)

lixn+i=0, i=1,..., m, li³0

gi(X)-bi+x2n+i=0.

В данной системе li*xn+i=0  равносильно с равенством

li(bi-gi(Х))=0    из  (3).

Решая полученную систему уравнений находим значения искомых неизвестных  и  подставляя их в целевую функцию вычислим требуемый оптимум.

{/spoilers}

Комментарии (0)
Комментировать
Кликните на изображение чтобы обновить код, если он неразборчив
Copyright © 2024 г. openstudy.uz - Все права защищены.