Йордановы алгебры абстрактных измеримых операторов для JB-алгебр беровского типа Исполнитель

Йордановы алгебры абстрактных измеримых операторов для JB-алгебр беровского типа

В неассоциативной теории интегрирования интересной является проблема построения измеримого оператора без использования неограниченных линейных операторов. Основным объектом исследования данной работы являются измеримые и локально измеримые операторы, присоединенные к -алгебре. Эти понятия введены абстрактным образом, т.е. в их определении не участвует понятие неограниченного оператора. Такой подход, в частности, удобен в изучении интересующих нас вопросов, касающихся измеримых и локально измеримых операторов. Правильно будет их называть абстрактными измеримыми и локально измеримыми операторами. Следует отметить, что теория измеримых операторов для произвольных -алгебр ранее построена в работах Ш. Аюпова и его учеников (см. [1], [2]). В этих работах применялись подходы Э.Нельсона, Н.Сигала, П.Йордана и др. Сравнение алгебры измеримых операторов, построенных другими авторами, рассмотрено в [3]. В данной работе построена алгебра измеримых операторов по методу Берберяна построения измеримых операторов для -алгебр (см. [4], [5], [6],  [7], [8]). Йорданова алгебра измеримых операторов, которая вкладывается в -алгебру измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, не всегда является её самосопряженной частью. Поэтому представляет интерес изучение класса йордановых алгебр абстрактных измеримых операторов.

Пусть всюду, если не оговорено противное, ¾обратимая -алгебра и ¾множество проекторов в .

По теореме 3.2 из [9] для -алгебры  имеет место разложение , где ¾-алгебра, а -алгебра  изоморфна алгебре  всех непрерывных отображений экстремального компакта  в -алгебру . Обертывающая -алгебра  подалгебры  невсегда является -алгеброй. Поэтому всюду в данной работе для удобства будем предполагать, что является -алгеброй. В этом случае, для всякого проектора  алгебры  проектор  является модулярным в  тогда и только тогда, когда  является конечным проектором в вещественной -алгебре , порожденной , которая является вещественной -алгеброй. Следовательно, проектор  является модулярным в  тогда и только тогда, когда проектор  является конечным проектором в -алгебре . В дальнейшем, обертывающую -алгебру  -алгебры  будем обозначать через .{spoiler=Подробнее}

В работе [10] (теорема 3.8) установлено, что всякая обратимая -алгебра  раскладывается в прямую сумму обратимой алгебры , для которой -алгебра  содержит равномерно замкнутый двухсторонний идеал  с некоторыми условиями, и обратимой алгебры  такой, что . А также, в этой работе было выдвинуто гипотеза о том, что , т.е. . В данной работе для удобства мы будем предполагать, что .

Для последовательности  элементов  будем писать , если  для всех , если, кроме того, , то пишем . Последовательность  из  будем называть сильно плотной областью (с.п.о.), если  и  является модулярным проектором из  для любого . В существенном измеримый оператор (с.и.о.) это последовательность пар , где  для каждого  и ¾ с.п.о. такая, что из  следует . Например, если  и  для всех , то ¾ с.и.о., который обозначим через . Если  и , то наибольший аннулирующий проектор элемента  обозначим через , т.е.  является носителем .

В дальнейшем при доказательстве утверждений будет применяться следующее предложение.

Предложение 1. Пусть ¾ операция взятия точной верхней грани в ,  ¾ операция взятия точной верхней грани в , и  является -алгеброй. Тогда для всякого семейства проекторов  алгебры  существует  и имеет место  т.е. решетка  проекторов алгебры  является полной подрешеткой решетки  проекторов алгебры .

Доказательство. В силу предположения предложение достаточно доказать в случае . Пусть  произвольное семейство проекторов алгебры  и . Пусть  произвольный проектор обертывающей -алгебры  такой, что  для всех . Надо доказать, что .

Пусть . Тогда , . Имеем  для всех . Отсюда  и  для всех . Поэтому  для всякого индекса . В силу леммы 1 из [11]  для всякого индекса . Так как , то в силу леммы 1 из [12]  относительно йорданова умножения. Отсюда элементы  и e коммутируют. Тогда . В силу аксиомы -алгебры , т.е. . Аналогично и . Отсюда . В силу равенств  для всех  имеем  для всех . Отсюда . Поэтому . Следовательно, , т.е. . В силу произвольности проектора  последнее неравенство дает утверждение предложения. Доказательство завершено.

Теоремы и предложения, которые будут приведены ниже, доказываются точно также как в случае  -алгебр (см. [3]).

Введем отношение эквивалентности на множестве всех с.и.о. Два с.и.о. и  эквивалентны, обозначим это через , если существует с.п.о.  такая, что  для всех . Будем говорить, что с.п.о.  обеспечивает эту эквивалентность. Нетрудно проверить, что введенное отношение является отношением эквивалентности. Действительно, пусть ¾ с.и.о.,  . Пусть с.п.о.  обеспечивает эту эквивалентность. Пусть также  для всех . Тогда  является с.п.о. в силу леммы 3. Кроме того, для всех  также как в случае -алгебр имеем . Отсюда . Класс эквивалентности  с.и.о.  называется измеримым оператором (и.о.), присоединенным к алгебре . Обозначим множество всех

и.о. через . Введем алгебраические операции в . Пусть  и ¾с.и.о, присоединенные к алгебре . Положим , . Легко заметить, что члены правой части равенств с.и.о. Пусть  для всех . Также как в случае -алгебр доказывается, что  и то что для любого  проектор  является модулярным. Точно также как в случае -алгебр вводится операция умножения   где  для каждого . Таким образом, определения

,  ,

являются корректными. Относительно этих операций  является йордановой алгеброй.

Предложение 2. Пусть  ¾ -фактор типа , где ¾конечный кардинал . Тогда .

Элемент  из  называется проектором, если . Ниже мы покажем, что если  является обратимой -алгеброй, то  не содержит новых проекторов. В силу [7, теоремы 5.4 и 5.5] и предложения 2 имеют место следующие утверждения.

Предложение 3. Каждый проектор  из  имеет вид  для некоторого . Следовательно, проекторы алгебры  образуют полную решетку, которая изоморфна решетке проекторов алгебры через отображение .

Так же, как в теории -алгебр абстрактных измеримых операторов, для йордановых алгебр абстрактных измеримых операторов представляет интерес следующая проблема. Пусть   и ¾обратимые -алгебры, удовлетворяющие условиям, принятым в начале данной работы.  Предположим, что  является -суммой алгебр , и рассмотрим йорданову алгебру (соответственно, ) измеримых операторов, присоединенных к  (соответственно, ). Верно ли, что  является прямым произведением  алгебр , т.е. алгеброй всех семейств

, с покоординатными операциями? На этот вопрос дан отрицательный ответ в п. 1.19 из [3]. В случае модулярной -алгебры проблема, рассмотренная выше, имеет положительное решение.

Аналогично случаю JBW-алгебр мы получим следующую теорему.

Теорема 4. Пусть ¾ -алгебра, удовлетворяющая условиям, принятым в начале данной работы. Тогда для всякого множества  существует проектор  такой, что  (т.е.  является йордановым аналогом бэровской -алгебры).

Литература

1. Аюпов Ш.А. Йордановы операторные алгебры. Итоги науки и техн.                ВИНИТИ. Мат. анализ.-1985.-Т.27.-С.67-97.

2. Аюпов Ш.А. Классификация и представления упорядоченных йордановых алгебр.-Ташкент:Фан, 1986.

3. Арзикулов Ф.Н. Йордановы алгебры абстрактных  измеримых операторов  для JBW-алгебр. Математические труды ИМ СО РАН. - Новосибирск, 2000. -Vol. 3. -№2. - С. 29-70.

4. Berberian S.K. The regular ring of a finite -algebra. Ann. of Math.-1957.-Vol.65.-P.224-240.

5. Berberian S.K. Note on a theorem of Fuglede and Putnam. Proc. Amer. Math. Soc.-1959.-Vol.10.-P.175-182.

6. Berberian S.K. A note on the algebra of measurable operators of an -algebra. Tohoku Math. J.-1970.-Vol.22.-P.613-618.

7. Saito K. On the algebra of measureble operators for a general -algebras, I. Tohoku Math.J.-1969.-Vol.21.-P.249-270.

8. Saito K. On the algebra of measureble operators for a general -algebras, II. Tohoku Math.J.-1971.-Vol.23.-P.525-534.

9. Arzikulov F.N. AJW-algebras of type  and their classification. Sib. Adv. Math. -1998.-Vol.8.-N2.-С.30-48.

10. Ayupov Sh.A., Arzikulov F.N. Reversible AJW-algebras. 505.02395v1  [math.OA]  10 May 2015

11. Ayupov Sh.A., Arzikulov F.N. -algebras which are enveloping -algebras of JC-algebras. Algebr Represent Theor. -2013. -Vol. 16. -P. 289-301.

12. Арзикулов Ф.Н. Об одном аналоге пирсовского разложения. Сиб. мат. журн. - Новосибирск, 1999. -№3. -С. 485-492.

{/spoilers}