Выборочный коэффициент корреляции и его свойства Исполнитель

Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

План:

1. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
2. Выборочный коэффициент корреляции.
3. Выборочное корреляционное отношение.
4. Свойства выборочного корреляционного отношения.

Корреляционным моментом  случайных величин  и  называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

                         .                 (15.1)

Отсюда легко можно получить соотношение

                              .                       (15.2)

Коэффициентом корреляции  случайных величин  и  называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

                                         .                                (15.3)

Из соотношения (15.2) вытекает, что корреляционный момент и, следовательно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Две случайные величины  и  называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля;  и  называются некоррелированными величинами, если их коэффициент корреляции равен нулю.

Из вышесказанного следует, что независимые случайные величины всегда являются некоррелированными, а две коррелированные случайные величины также и зависимы. Действительно, если предположить, что коррелированные случайные величины независимы, то для них должно выполняться соотношение , а это противоречит тому, что для коррелированных величин всегда выполняется .

С другой стороны, две зависимые случайные величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными; некоррелированные случайные величины могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Если случайные величины  и  независимы, то коэффициент корреляции ; если , то случайные величины  и  связаны линейной функциональной зависимостью. Отсюда следует, что коэффициент корреляции  измеряет силу (тесноту) линейной связи между  и .

Величина , определяемая равенством

                                       ,                            (15.4)

называется выборочным коэффициентом корреляции. Здесь  и  — варианты (наблюдавшиеся значения) признаков  и ;  — частота пары вариант ;  — объем выборки (сумма всех частот); ,  — выборочные средние квадратические отклонения; ,  — выборочные средние.

Выборочный коэффициент корреляции  является оценкой коэффициента корреляции  генеральной совокупности. Поэтому его можно использовать и для измерения линейной связи между величинами — количественными признаками  и .

Пример 1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии  на  по данным следующей корреляционной таблицы:

{spoiler=Подробнее}Т а б л и ц а  15.1

Решение. Сначала вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле (15.4):

;

;

;

;

;

;

;

.

Теперь подставим найденные значения в формулу (14.18) и получим выборочное уравнение прямой линии регрессии  на :

или окончательно

.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность. Например, для оценки коэффициента корреляции  нормально распределенной генеральной совокупности (при ) можно воспользоваться формулой

.

Итак, для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреляции. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводится понятие выборочного корреляционного отношения.

Выборочным корреляционным отношением  к  называется следующее отношение

                                            .                                   (15.5)

Здесь

;

,

где  — объем выборки (сумма всех частот);   — частота значения  признака ;   — частота значения  признака ;   — общая средняя признака ;   — условная средняя признака .

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение  к :

                                            .                                   (15.6)

Пример 2. Найти  по данным следующей корреляционной таблицы:

Т а б л и ц а  15.2

Решение. Сначала найдем ,  и :

;

;

.

Теперь подставим все эти значения в формулу (15.5) и найдем :

.

Перечислим свойства выборочного корреляционного отношения.

Свойство 15.1. Выборочное корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству

.

Свойство 15.2. Если , то признак  с признаком  корреляционной зависимостью не связан.

Свойство 15.3. Если , то признак  связан с признаком  функциональной зависимостью.

Свойство 15.4. Выборочное корреляционное отношение не меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции:  .

Свойство 15.5. Если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

Вопросы для повторения и контроля:

1. Что называется корреляционным моментом и что называется коэффициентом корреляции?
2. Что такое коррелированные и некоррелированные случайные величины, и какова связь между понятиями зависимости и коррелированности случайных величин?
3. Что вы знаете о выборочном коэффициенте корреляции?
4. Что такое выборочное корреляционное отношение и для чего оно служит?
5. Какие свойства выборочного корреляционного отношения вы знаете?

Опорные слова:

Корреляционный момент, коэффициент корреляции, коррелированные случайные величины, некоррелированные случайные величины, выборочный коэффициент корреляции, выборочное корреляционное отношение.

{/spoilers}