ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ Исполнитель

ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ

План

1. Объект моделирования

2. Сведения об объекте

3. Априорная информация

4. Апостериорная информация

При постановке и решении проблемы моделирования исследователь сталкивается с различными вопросами, одним из основных является вопрос – что называть объектом моделирования и какие общие свойства, черты модели объекта? Поэтому проблему моделирования начнем с изучения объекта моделирования.

1. Объект моделирования

Объект моделирования удобно представлять в виде многополюсника, изображенного на рис.1.а, где х₁, ..., х_п —наблюдаемые входы объекта, e₁, ..., е_k— его ненаблюдаемые входы; у₁, ..., у_т—наблюдаемые выходы объекта.

Рис. 1. Изображение объекта моделирования.

Многомерный объект удобно описывать в векторной форме (рис. 1.б), где

X=(x₁, . . . x_n);

Y=(y₁, . . . y_m);

E=(e₁, . . . e_k);

Все входы объекта представляют собой воздействия внешней среды на объект и являются какими-то определенными функциями состояния среды и времени. Так как отсутствует модель среды, воздействующей на объект моделирования, то входы объекта естественно рассматривать как случайные функции времени, т. е.

X=X(t), E=E(t),

статистические свойства которых в общем случае неизвестны. Однако известны наблюдения входа и выхода объекта, т. е. реализации функций X(t) и Y(t) в непрерывной или дискретной форме. Относительно ненаблюдаемого входа Е(t) предполагается известной его структура, т. е. характер этой случайной функции. В данной книге мы ограничимся случаем, когда E(t) является нормальным случайным процессом, непосредственное наблюдение которого невозможно.

Объект связывает входы Х и Е с выходом Y некоторым априори неизвестным оператором F₀

Y=F₀(X, E).

Однако идентифицируется не он, а оператор моде­ли F, связывающий наблюдаемые входы и выходы:

Y=F(X).

Ненаблюдаемый фактор Е(t) рассматривается как случайная помеха, затрудняющая определение оператора F.

Резюмируя, можно сказать, что объект идентификации в общем случае представляется в виде многополюсника, часть входов которого ненаблюдаема (это и есть Е)

2. Сведения об объекте

Все сведения об объекте, которые необходимо иметь для того, чтобы начать процедуру идентификации, как сказано выше, подразделяются на два вида: априор­ные А и апостериорные B. Так, что двойка

                                                <А, B>                                                       (1)

характеризует всю информацию об объекте. Рассмотрим оба вида сведений в отдельности.

3. Априорная информация

Априорная информация, которой необходимо распо­лагать еще до наблюдения входов и выходов объекта, должна ответить на вопрос, что представляет собой структура идентифицируемого объекта. Структуру преж­де всего мы будем характеризовать значениями четырех признаков:{spoiler=Подробнее}

                                                   A =<α, β, γ, δ>,                                                (2)

которые кодируют объект по четырем признакам. Сле­дует сразу отметить, что структура объекта полностью далёко не исчерпывается этими четырьмя признаками.

Рассмотрим указанные признаки вида объекта под­робнее и уточним их смысл.

1. Признак, динамичности α. Будем объект называть динамическим (α=1), если поведение его выхода зависит не только от значений входа в текущий момент времени, но и от предыдущих значений входа. Это означает, что объект обладает памятью (или инерционностью), кото­рая и определяет зависимость выхода от предыстории входа.

В противном случае объект будем называть статиче­ским (α=0).

2. Признак стохастичности β. Будем объект называть стохастическим (β=1), если поведение его выхода за­висит от неконтролируемых входов объекта или (что то же) сам объект содержит неконтролируемый источник случайных факторов возмущений. В противном случае будем объект называть детерминированным (β=0).

Заметим, что, строго говоря, нестохастических объек­тов не существует в природе, так как всякое измерение неизбежно вносит свою погрешность в результат наблю­дения. Поэтому правильнее говорить о “малой” и “боль­шой” стохастичности объекта, подразумевая, что с ма­лой стохастичностью можно не считаться и называть такой объект детерминированным.

3. Признак нелинейности γ. Объект будем называть нелинейным (γ=1), если его реакция на два различных возмущения входа не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности. Для случая без помех нелинейность определяется условием

F₀(X₁ + X₂)   ≠   F₀(X₁) + F₀(X₂).

При невыполнении этого условия, т. е. при равенстве в этом выражении, объект будем называть линейным (γ=0).

4. Признак дискретности δ. Будем объект называть дискретным (δ=1), если состояние его входов и выходов изменяется или измеряется лишь в дискретные моменты времени t=1, 2, ..., п. Если же вход и выход изме­няются или измеряются непрерывно, то объект назовем непрерывным (δ=0). Таким образом, способ измерения может изменит этот признак объекта.

Как видно, A в значительной степени проясняет вид модели, а для ее полной определенности следует ска­зать о характере динамики (при α=1), вероятностных свойствах стохастичности (при, γ=1) и виде нелиней­ности (при β=1).

Естественно, что представления о виде модели, опре­деляемые A, могут измениться после анализа апостери­орной информации, т. е. после наблюдения за поведе­нием входа и выхода объекта.

4. Апостериорная информация

Если априорная информация A имеет качественный характер, то апостериорная—количественный, т. е. ре­зультат (протокол) наблюдений входа и выхода объекта. Этот протокол имеет вид:

B=<X, Y>,

где X — результаты всех измерений 'входов объекта; Y – результаты этих измерений его выходов за тот же период наблюдений.

Для непрерывных объектов (A=αβγ0) имеем запи­си непрерывных данных X=X(t), Y=Y(t) в интервале 0≤t≤T. Таким образом, получаем:

B₀=(<X(t), Y(t)> ( 0  ≤  t  ≤  T ).

Это означает, что поведение объекта зарегистрирова­но в виде n+m различных кривых: x₁(t), ..., x_n(t), y₁(t), ..., y_m(t) в этом интервале.

Заметим, что X и X(t) в данном случае не тождест­венны, так как X представляет собой всю зависимость Х(t) в заданном интервале, a X(t) может выражать только конкретное значение этой зависимости в момент t. Аналогична не тождественность Y и Y (t).

В дискретном  случае   (A=αβγl)  имеем X=(X₁, .... X_N),
Y= (Y₁, ..., Y_N) и протокол записывается в виде

B₁=(<X_i, Y_i>  (i=1, ..., N)),

который представляет собой таблицу чисел из        п+т столбцов и N строк:

B₁=

Очевидна преемственность этих двух форм записи. Так, .протокол B₁ может быть получен из B₀ путем фиксации дискретных моментов времени t=0, δ, 2δ, ..., (N—1) δ, где δ - интервал   дискретности (δ=T/N).

(Заметим, что обратный переход возможен далеко не всегда.)

Таким образом двойка (1) достаточно полно харак­теризует объект для целей его идентификации. Она и будет использоваться при изложении соответствующих идей, методов и подходов идентификации.

Контрольные вопросы

1. Обшее представление объекта моделирования в виде многополюсника.
2. Априорная и апостериорная информация об объекте моделирования.
3. По каким признакам классифицируются объекты моделирования?{/spoilers}