ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ Исполнитель
- Скачано: 55
- Размер: 66.12 Kb
ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ
План
1. Постановка задачи идентификации.
1. Постановка задачи идентификации.
Задачей идентификации является определение оператора F0 объекта, т.е. построения такого оператора модели F, которой был определенном смысле близок к оператора объекта F0 т.е.
F»F0 (1)
(Заметим, что указанная «близость» весьма относительно, так как оператора F0 и F могут иметь разные структуру, могут быть сформулированы на разных языках и иметь разные число входов. Именно поэтому близость операторов непосредственно оценить трудно или просто невозможно, тем более что часто об операторе объекта F0 мало что известно.) В связи с этим естественно оценивать близость операторов по их реакциям на одно и тоже входное воздействие Х , т.е. по выходом объекта Y(t)=F0[X, E(t)] и модели YM=F(X). Степень близости этих реакций в каждый момент времени можно оценить, например, значением квадрата модуля разности векторов выхода:
, (2’)
где векторов выхода модели.
В общем случае близость объекта и модели оценивается так называемой функцией невязки ρ. Это скалярная функция двух векторных аргументов – выходов объекта и модели:
, (3)
которая обладает следующими свойствами:
- не отрицательна для любых Y(t) и YM (t), т.е.
ρ(Y(t), YM (t)) ≥ 0
- равно нулю при Y(t) ≡ YM (t), т.е.
ρ(Y(t), YM (t))=0;
- непрерывна и выпукла вниз по обоим аргументам, т.е.
|
ρ((1-λ)Y1+λY2, YM) ≤ (1-λ)ρ(Y1, YM)+λρ(Y2, YM)
ρ(Y(1-λ)YM1+λYM2) ≤ (1-λ)ρ(Y, YM1)+λρ(Y, YM2)
где 0 ≤ λ ≤ 1.
Говоря проще, эта функция всегда лежит ниже отрезка прямой , соединяющей две любые точки (Y1, YM1) и (Y2, YM2), где Yi , YM i – произвольные векторы . Удовлетворить этим требованиям не сложно. Так, соотношение (2') соответствует им. Именно оно и будет чаще всего применяться в дальнейшим.
Теперь сформулируем задачу идентификации. Она заключается в том, чтобы построит такой оператор модели F, которой бы реагировал на возмущение Х аналогично реакции объекта У . Реакция оператора модели на вход Х имеет вид:
УМ=F(X)
Следовательно модельный оператор F должен быть таким, чтобы:
УМ ~ У
где ~ знак эквивалентности, т.е. выходы модели и объекта при одинаковых входных воздействиях Х должен быть эквивалентны Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, как (3).
Такой мерой в непрерывном случае (объект А=αβγ0) может быть интеграл
Действительно, в соответствии с определениям функции ρ(., .) величина Q выражает степень близости функций Y(t) и YM (t) в интервале 0 ≤ t ≤ T. Значение явно зависит от F:
и задача идентификации заключается в ее минимизации путем соответствующего выбора оператора модели F. Если по физическому смыслу задачи важность информации В в различные моменты времени не одинакова, то целесообразно введение переменного веса h(t)>0:
(5)
с естественным нормированием
{spoiler=Подробнее} (6)
Выбор функции h(t) определяется ценностью информации. Например, для стохастического непрерывного объекта (А=αβγ0) при неравноточных наблюдениях, т.е. когда дисперсия ошибки наблюдения выхода зависит определённым образом от времени
,
где f(t) – заданная функция, вес h(t) должен изменяться следующим образом:
где, k – нормирующий член, обеспечивающий выполнение условия (6) . Это означает, что ценность информации обратно пропорционально уровняю дисперсии случайных помех.
Величину Q(F) часто называют невязкой выходов объекта и модели. Эта невязка является функционалом, зависящим от оператора модели F. По своей конструкции эта невязка неотрицательно и равно нулю при , т. е. при совпадение выходов объекта и модели на исследуемом интервале.
Если объект является статическим и непрерывным А=0βγ0 т. е. , F(·) есть функция то невязка (5) принимает вид:
Для дискретного объекта ( ) функционал невязки записывается в очевидной форме:
(7)
а статическим дискретный объект () имеет функционал невязки в виде:
где, - вес информация в i-й момент времени. Если объект стохастический и дискретный () и измерения , например, зашумлены случайной помехой с изменяющейся дисперсией σ2i(i=1, . . . , N), то вес следует определять как
hi=k/σ2i,
где k – нормирующий член.
Таким образом степень несоответствия (степень невязки) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционалов типов (5) и (7), зависящих явно от оператора модели F.
Естественно, процесс идентификации, т. е. процесс определения оператора модели, строит так, чтобы минимизировать указанную невязку, т. е. решать задачи минимизации функционала Q(F) по оператору F:
(8)
Эта символическая запись выражает следующую простую мысль: нужно минимизировать функционал Q(F), варьируя оператором (или в простейшим случае функцией ) F не произвольно , а в некотором определенном классе операторов (или функцией) Ω. Это обозначается с отношение F ÎΩ , т. е. F принадлежит классу Ω, где Ω – заданный класс операторов или функций. Результатом процедуры минимизации является некоторый оператор (или функция) F* (не обязательно единственно), обладающий свойством:
(9)
т. е. невязка Q* на этом операторе минимально (точнее, не превышает всех возможных невязок, которые можно получить в классе Ω).
Говоря еще проще, для идентификации в заданном классе надо найти оператор F, минимизирующий функционал невязки Q(F) на этом классе.
Утверждения, что идентификация всегда сводиться к операции отыскания минимума, естественно, преувеличено. Действительно легко представить себе статический объект , который идентифицируется путем решения системы линейных или в общем случае нелинейных уравнений. Однако утверждения о сведении задания идентификации к задаче минимизации имеют общий характер для всех случаев идентификации с любыми классами допустимых операторов и функций .
Таким образом, использование процедуры минимизация для решение задачи идентификации объектов является принципиальным и важным обстоятельством, свойственным обычно решению сложных задач идентификации.
2. Трудности идентификации
Отметим две трудности постановки и решения задачи идентификации.
Первая трудность заключается в определении класса оператора Ω, в котором ищется это решение. Преодоление этой трудности едва ли в настоящая время возможно формальным образом.
Действительно, на стадии определение класса Ω должна быт использована априорная информации об объекте как предмета идентификации для целей управления. Этот этап крайне трудно формализуем и нуждается в эвратических решениях. Пока такие решения может принимать только человек.
Для принятия решения о классе Ω необходимо учесть следующее:
- структур объекта управления ;
- механизм работы объекта ;
- цель управления ;
- алгоритм управления.
Последние два пункта связывают класс Ω с будущим управлением, для которого и идентифицируется объект.
Вторая трудность, которую нужно преодолевать при идентификации, заключается в решении поставленной задачи минимизации (8) с наименьшим ущербом для потребителя . дело в том, что процесс решения всякий задачи связан с определенными потерями ( времени, средств, оборудование, энергии и т. д. ). Это обстоятельство накладывает определенные ограничение на выбор алгоритма идентификации.
Действительно, это алгоритм должен решать поставленную задачу в определенном смысле наилучшим образом. Например, задачи идентификации должна быть решена за минимальное время или затраты средств на ее решение должны быть минимальные и т. д.
Как видно, всегда должен быть определен критерий эффективности процесса решение задачи идентификации. Чаше всего это будет ущерб, наносимый в процессе решение задачи идентификации, т. е. потери на идентификацию. Очевидно, что эти потери зависят от сложности задачи (8), необходимого объема экспериментальных данных и способа решения задачи, т. е. от алгоритма минимизации функционала Q(F).
Обозначим через А – алгоритм решения задачи идентификации (9), а I – потери на идентификацию, которые представляют собой функционал, зависящий от алгоритма А. Очевидно, что алгоритм следует выбирать таким, чтобы потери на идентификацию I были минимальны. Отсюда очевидным образом следует задача определения алгоритма как задача минимизации:
(10)
где I{B, A} – потери на идентификацию, т. е. на решение задачи B=[Q((F)à minFÎΩ] с помощью алгоритма А. Этот функционал должен быть задан. К примеру это может быть временно или стоимость решения задачи идентификации, сложность ее программирования, сложность применяемой при этой операторе, ее амортизация в процессе работе и т.д.
Задача (10) формулируется следующим образом: нужно в классе Ξ найти алгоритме идентификации А*, которой минимизирует потери на идентификацию I заданного объекта. Такой алгоритм А* естественно называть оптимальном в указанном смысле. Класс Ξ алгоритмов идентификации при этом должен быть задан. Если множество Ξ состоит из конечного и не слишком большого числа алгоритмов т. е.
Ξ
Заметим сразу, что, как правило, для идентификации выбирается не оптимальный алгоритм А*, а некоторый рациональный алгоритм Ã*, который обеспечивает решения задачи при допустимых потерях на идентификацию. Пусть I – допустимые потери. Тогда задача отыскание рационального алгоритма сводится к следующей:
(11)
Любой алгоритм из множества Ξ, удовлетворяющий этому неравенству, следует считать рациональным.
Таким образом, вторая трудность решение задачи идентификации сводиться к отысканию алгоритма решения этой задачи. При этом искомый алгоритм не может быть любым и должен удовлетворять определенным требованиям – оптимальности (10) или рациональности (11). Не последнюю роль здесь играет задание класса алгоритмов идентификации Ξ. процесс определение класса Ξ является эвристическим и пока доступным лишь человеку.
Контрольные вопросы
- Определение задачи идентификации.
- Как ставиться задача идентификация?
- Что понимается под функцией невязки выходов объекта и модели?
- Сведение задачи идентификация к задаче оптимизации?
- Какие трудности возникают в задачах идентификации?{/spoilers}