ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ Исполнитель

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

План

1. Метод парных сравнений

2. Определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели

3. Определение характера связи между входом  и выходом модели объекта

1. Метод парных сравнений

Эксперту предлагается проранжировать факторы по­парно, т. е. каждой паре факторов х_i и x_l поставить в соответствие число q_il:

где знак “” обозначает предпочтительность. Так, вы­ражение х_ix_l следует читать: “i-й фактор более пред­почтителен при ранжировании, чем l-и”. Знак ~ явля­ется знаком эквивалентности факторов с точки зрения ранжирования.        Числа q_il обладают очевидным свой­ством

q_il + 0 = q_il.

Таким образом, каждый (j-и) эксперт свое мнение представляет в виде таблицы п×п (табл. 1)

или

где верхний индекс определяет номер эксперта.

Таблица 2-1

Осредним мнение экспертов. Для этого достаточно построить осредненную таблицу (n×n)

где

— среднее предпочтение i-го фактора перед l-м. Это и есть мнение экспертов. Определим согласованность экс­пертов. В качестве меры согласованности аналогично предыдущему естественно выбрать дисперсию величин . В силу того, что среднее значение  равно нулю, для дисперсии получаем:

где суммирование производится по всей таблице . Максимальное значение дисперсии будет иметь место при полной согласованности экспертов и равно:

Тогда, вводя критерий согласованности как отноше­ние дисперсии средних предпочтений к максимальной дисперсии, получаем:

Однако эксперты могут противоречить. Примером такой таблицы  может служить табл. 2, где проти­воречие имеет вид , т.е. оказалось что  и одновременно.

Таблица 2

Выявление подобных противоречий совершенно не­обходимо не только в осредненной таблице, но и в мне­нии каждого эксперта. Это можно сделать на основе. следующего, довольно очевидного правила, которое на­зывается правилом транзитивности.

Для предпочтений оно имеет вид:

{spoiler=Подробнее}                              если х₁х₂ и x₂х₃, то х₁х₃.                                     (5)

Для эквивалентности:

                                     если х₁ ~ х₂ и x₂ ~ х₃, то х₁ ~ х₃

Таблицы, представляющие собой мнение каждого эксперта, должны удовлетворять указанной транзитив­ности и при обнаружении противоречий возвращаются соответствующему эксперту для разрешения отмечен­ных противоречий.

Для определения рангов ранжируемых факторов следует определить правило назначения рангов по таб­лице Q. Таких правил может быть много. Рассмотрим два из них,

Правило 1. Определим суммарные предпочтения каж­дого фактора                                      

Естественно считать, что первый ранг имеет фактор, суммарное предпочтение которого максимально, т. е. при

первый ранг имеет фактор x_z, т. е. k_z=1. Аналогично образуются ранги остальных факторов.

Рассмотренное правило, однако, излишне осредняет предпочтения. Так, фактор, имеющий ряд явных пред­почтений, которые легко обнаруживают эксперты, полу­чит первый ранг только потому, что его второстепенность по отношению к другим факторам будет не столь ярко выражена. Именно в этом случае часто приходит­ся обращаться к другому правилу.

Правило 2. Основная мысль этого правила опирает­ся на идею усиления контраста. Для этого вводится по­рог δ. Если предпочтение выше этого порога, то оно имеет явный характер, а если ниже, то оно сомнительно, т. е. больше соответствует эквивалентности. Получаем следующее преобразование матрицы средних предпочте­ний  в контрастную матрицу U, которую легко преоб­разовать в ранжированный ряд:

где

Как видно, это преобразование целиком и пол­ностью определяется порогом δ (0<δ<1). При δ=1 контрастная матрица U становится нулевой и все фак­торы эквивалентны. При δ=0 она полностью заполняет­ся единицами, но при этом почти неизбежно появление противоречий в виде нарушений транзитивности пред­почтений (5).

Поэтому при выборе порога δ следует помнить, что его увеличение приводит к отказу от ранжирования, а уменьшение—к увеличению числа явных предпочте­нии и к опасности появления противоречий.

Одной из возможных рекомендаций по определению оптимального порога является выбор порога δ на “по­роге противоречий”, т. е. такого значения δ, незначи­тельное уменьшение которого приводит к противоречиям.

2. Определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели

Описанным выше образом получаются ранжирован­ные ряды всех претендентов на входы и выходы мо­дели:

                                                                                     (6)

(здесь для удобства произведена перенумерация ранжи­рованных факторов таким образом, чтобы их номер стал равен рангу, т. е. k_i=i).

Выбор рациональных чисел n*, q* и m*, характери­зующих модель, т. е. размерность ее входов и выходов, следует также производить экспортно. Для этого нужно начать с минимального числа входов и выходов (n₁, q₁, m₁, т. е. с простейшей модели, например, с n₁=0; q₁=m₁=1). Назовем эту модель F₁ [характер связи Y=F₁ (X, U), где Y=(y₁, ..., y_m1);  X=(x₁, ..., x_n1);  U=(u₁, ..., u_q1): при этом выяснять .не нужно, модель рассматривается как “черный ящик”]. Таким образом, первая, простейшая модель характеризуется тройкой F₁=<n₁, q₁, т₁>. Вторая модель F₂=<n₂, q₂, m₂> должна быть выбрана экспертами из трех:

                                                                           (7)

Здесь мы воспользовались ранжированными рядами (6), что позволяет усложнять объект введением фак­тора, имеющего очередной ранг.

Эксперты ранжbруют тройки (7) по критериям, за­ранее оговоренным. Тройка, получившая первый ранг, образует F₂. Аналогично (i+1)-я модель F_i+1 опреде­ляется ранжированием трех полученных из F_i троек:

Таким образом, получим последовательность моделей объекта F₁, F₂, ..., F_l, расположенных в порядке их уточнения и усложнения. Теперь остается в этом ряду установить предпочтение, т. с. выбрать ту модель, ко­торая и будет идентифицироваться. Это можно также сделать с помощью экспертов. Пусть в результате по­лучен ряд предпочтений:

Это означает, что следует остановиться на модели

F_z=(n_z, q_z, m_z)

и таким образом n*=n_z, q*=q_z, m*=m_z.

3. Определение характера связи между входом
и выходом модели объекта

Мы уже говорили, что структура модели определя­ется видом оператора модели F. Этот оператор, прежде всего, характеризуется кодом A. C него и следует на­чинать.

Определение кода A требует четырех двоичных вы­боров:

где каждый из признаков может принимать одно из двух значений: 0 или 1. Анализ следует начинать с про­стейшего (нулевого) случая. Действительно, код А по­строен так, что наличие трудностей в процессе иденти­фикации отражается единицами кода. Так, динамиче­ский объект (α=1) труднее идентифицировать, чем статический (α=0); стохастический (β=1) труднее де­терминированного (β=0), нелинейный (γ=1) сложнее линейного (γ=0) и т. д.

В процессе выбора кода A модели следует иметь в виду, что, учитывая эти трудности, вполне можно на­меренно “снизить” модель, т.е. сделать ее значительно проще объекта. Так, поведение заведомо динамического объекта можно описывать статической моделью, если динамика объекта не слишком ярко выражена; нелиней­ный объект можно аппроксимировать линейным и т. д. Разумеется, что при этом эффективность управления, построенного на основе такой модели, снизится. Но если это снижение невелико, а выигрыш в идентификации значителен, то такой выбор следует считать опти­мальным.

После выбора кода A модели следует определить конкретную форму ее оператора F.

Контрольные вопросы

1. Чем различается два правила для определения рангов ранжируемых факторов в методе парных сравнений?
2. Как определяется рациональное число входов в выходов объекта?
3. Как определяется характер связи между входом и выходом модели объекта?{/spoilers}