Основные понятия теории вероятностей Исполнитель

Основные понятия теории вероятностей.

Цели урока:

Обучающие: познакомить учащихся с понятием достоверного, невозможного, случайного события.Ввести классическое определение вероятности,  формула  Бернулли

{spoiler=Продолжать Читать}

Развивающие: уметьприменятьформулытеорийвероятностей при решениизадач,развиватьлогическое мышление

Воспитательные: воспитывать  чувство патриотизма и развивать интерес к профессии.

Наглядность и раздаточный материал: карточки, презентации.

Тип урока: освоение нового материала, закрепление пройденного.

Метод урока: комбинированный, мозговой штурм, игровой метод.

Ход урока:

1. Повторение (15мин)
2. Изложение нового материала (35мин)
3. Закрепление (25мин)
4. Домашнее задание(5мин)

Повторение.(по слайдам)

• Определение и формулы для нахождения перестановок, размещений, сочетаний
• Проверка домашних задач
• Определить тип комбинаторной задачи
  • В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем? (5×3=15)
  • У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик? Р₅ = 5! = 120 
  • Вите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три книги из пяти?
  • Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов?  

 Самостоятельная письменная работа

I вариант

• Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если каждую цифру можно брать только один раз?
• В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?
• Сколькими способами можно выложить на полке в ряд 5 книг?
• «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-нибудь музыкальных инструментов из имеющихся там 13. Сколько способов выбора есть у Мишки?

II вариант

• Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждую цифру можно брать только один раз?
• Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в продаже есть вафельные стаканчики, конусы, шоколадные брикеты и эскимо?
• В гимназии в 9 классе в понедельник 6 уроков: математика, русский, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?
• Из десяти отличников 5 класса трёх школьников нужно послать на олимпиаду по математике. Сколькими способами это можно сделать?
• На заводе работали три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семёнов. Известно, что:
  • у слесаря нет ни братьев, ни сестёр и он самый младший из друзей;
  • Семёнов, женатый на сестре Борисова, старше токаря

1. Определите фамилии друзей 
2. Бином Ньютона (по слайдам)

(a + b)² = a² + 2ab + b²                                   (1,2,1)

(a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³                                    (1,3,3,1)

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³ b +  6a² b² + 4a b³ + b⁴        (1,4,6,4,1)

Проверка домашнего задания

(1 + с)⁴ = 1 + 4с + 6с² + 4с³ + с⁴

(2 – х)⁵ = 2⁵ - 5× 2⁴х + 10 × 2³х² – 10 × 2²х³ + 5 × 2х⁴ – х⁵ =

              =  32 – 80х + 80х² – 40х³ + 10х⁴ – х⁵

       (3у + 2)³ = (3у)³ + 3 × (3у)²× 2 + 3 × (3у) ×2² + 2³ =

                      = 27у³ + 54у² + 36у + 8

Решите самостоятельно:

3. Начальные сведения по теории вероятностей

События в материальном мире можно разбить на три категории – достоверные, невозможные и случайные.

Во многих играх используется игральный кубик. У кубика 6   граней, на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

• событие А – выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
• событие В – выпадает цифра 7, 8 или 9;
• событие С – выпадает цифра 1.

Событие  –исход наблюдении или эксперимента.

Событие А обязательно наступит. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Например, если стакан с водой перевернуть вверх дном, то вода выльется.

Событие В никогда не наступит, это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

А как вы думаете, событие С наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку цифра 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может, как наступать, так и не наступить, называют случайным событием.

Упражнение.

Определите достоверные, невозможные и случайные события

1. – два попадания в цель при трёх выстрелах;
2. – выплата рубля семью монетами;
3. – наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000;
4. – появление 17 очков при бросании трёх игральных кубиков;
5. – команда школы по волейболу будет чемпионом города

Определение:

Раздел математики, в котором изучаются случайные события и закономерности, которым они подчиняются, называется теорией вероятности.

Проделаем простейший опыт – подбросим монету и посмотри, что выпадет: герб или цифра (говорят – орёл или решка). Ваши предположения?

Оказывается, этот опыт проделывали многие учёные. Французский естествоиспытатель Ж. Бюффон в XVIII веке провел опыт с монетой 4040 раз, герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в XIХ веке провёл 24000 испытаний, герб выпал 12012 раз. Какой напрашивается вывод? Число выпадения герба и цифры примерно одинаково.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским учёным П. Лапласом.

ЛАПЛАС Пьер Симон (1749-1827), французский астроном, математик, физик, иностранный почетный член Петербургской АН. Автор классических трудов по теории вероятностей и небесной механике (динамика Солнечной системы в целом и ее устойчивость и др.)

Также теорией вероятности занимались: Б. Паскаль, французский математик А. Муавр, русские математики В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, А.А. Марков и др.

Большое число вероятностных задач возникает при проведении экспериментов, при планировании, в статистике.

Классическое определение вероятности случайного события (дано П. Лапласом):

Вероятностью случайного события А называется отношение числа возможных благоприятных событий к числу всех возможных событий

 где  n – общее  число равновероятных событий,  m – число благоприятных событий .

Свойства вероятностей:

• Вероятность достоверного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1.

4. Решение задач.
   • Определить вероятность выпадения герба при бросании монеты.

Р(А) =       

2)  Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадут две «шестёрки»?

Р(А)=     (Число возможных вариантов выпадения очков  первого кубика 6, второго – тоже 6, всего возможных исходов 6 × 6 = 36)

           3) В ящике лежат 10 шариков:    3 белых, 2 красных, 5 синих.

            Какова вероятность того, что вытащенный наугад шар красного цвета?

Р(А) =               

4) В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один билет?

5) Вероятность чего больше:  вероятность выигрыша в «Спортлото» 5 из 36 или 6 из 49?

Пусть событие А -  выигрыш в лотерею 5 из 36.

Пусть событие В  -  выигрыш в лотерею 6 из 49.

Р(А) =                                     Р(В) =

Т.е. Р(А) > Р(В)

Во многих задачах на определение вероятности большее затруднение вызывает подсчёт числа вариантов возможных благоприятных исходов. Здесь на помощь приходят знания комбинаторики.

Задача. В ящике лежат одинаковые на ощупь 20 шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шара.

 Какова вероятность того, что они оба белые (событие А)?

Какова вероятность того, что они оба чёрные (событие В)?

 Какова вероятность того, что они разного цвета (событие С)?

Решение. Число всех возможных событий равно числу сочетаний из 20 по 2. Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 12 по 2. 

Подсчитайте самостоятельно, чему равно Р(В) и Р(С)

Формула Бернулли

Многие задачи теории вероятностей сводятся к схеме Бернулли. Суть схемы заключается в том, что некоторой опыт независимым образом повторяется nраз.

Искомую вероятность принято обозначать через              . Ответ на поставленный вопрос дает формула Бернулли:

Пример:

Одна монетка бросается 10 раз. Какова вероятность того, что «герб» выпадает ровно 5 раз?

Решение:

При бросании моменты «герб» выпадает с вероятностью        .

Тогда по формуле Бернулли имеем

Задачи по теории вероятностей

1. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадает: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число очков, не кратное 3.
2. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

           а) оканчивается нулём;[0,1]

           б) состоит из одинаковых цифр;[0,1]

           в) больше 27 и меньше 46;[0,2]

3. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что составленное число:

    а) чётное[0,6]; б) нечётное[0,4]; в) делится на 5[0,2]; г) делится на 4?[0,3]

4. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:

          а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]

          б) вторая карта – пиковый туз;[1/4]

5. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]
6. В ящике находятся 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, сто среди 10 наугад вынутых деталей все стандартные?

Закрепление:

• Игра «Домино»
• Игра «Кто быстрее»

Домашнее задание

• Играют два шахматиста. Первый шахматист играет в 3 раза слабее , чем второй шахматист. Какова вероятность того, что первый шахматист выиграет три партии из трёх?
• Составить задачу на классическую вероятность

Задачи по комбинаторике

Комбинаторика — своеобразный и очень интересный раздел математики, в котором решаются задачи выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Простейшие комбинаторные задачи связаны с перебором различных вариантов, удовлетворяющих поставленным условиям. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 5, 7?

Если бессистемно начать составлять всевозможные числа, можно что-то упустить или написать какое-то число дважды. Поэтому лучше всего придумать способ перебора, при котором ни одно из возможных чисел от нас бы не ускользнуло и, с другой стороны, который исключил бы возможность повторения. Один из таких способов — записывать возможные числа в порядке возрастания: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77. В итоге получилось 9 чисел.

2. К завтрашнему дню нужно сделать латынь, греческий и математику, в какой последовательности — безразлично. Сколько всего существует таких последовательностей?

Введем для удобства обозначения: Л — латынь, Г — греческий, М — математика. Выпишем все возможные последовательности в алфавитном порядке: ГЛМ, ГМЛ, ЛГМ, ЛМГ, МГЛ, МЛГ. Получилось 6 последовательностей — уроки можно сделать шестью способами!

При решении задач нужно обязательно выписывать все возможные варианты.

1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4?
2. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 5, 6, 7, 8, если при записи числа каждую цифру разрешается использовать только один раз?
3. Петя и Вася пишут контрольную по математике, причем каждый может получить любую из оценок 2, 3, 4, 5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?
4. Президент Анчурии хочет иметь государственный флаг, состоящий из трех горизонтальных разноцветных полос — серой, бурой и малиновой. Сколько у президента вариантов выбора флага?
5. На прямой отметили четыре точки A, B, C, D. Сколько при этом получилось отрезков?
6. На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 4x4 и внутри него по линиям клеток прочертили горизонтальные и вертикальные отрезки параллельно сторонам. Сколько всего квадратов оказалось нарисовано?
7. Петя трижды подбрасывает монету. Сколько различных последовательностей орлов и решек он может при этом получить?

1. Сколько а) двузначных; б) трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2?
2. Алфавит племени Мумбо-Юмбо содержит только две буквы — А и У. Любая последовательность этих букв является словом. Сколько существует в языке этого племени слов а) из четырех букв; б) не более, чем из трех букв?
3. Турист хочет побывать в Риме, Париже, Лондоне и Афинах, но не знает, в какой последовательности. Сколько перед ним различных вариантов маршрутов?
4. Анаграммой данного слова называется слово, полученное из него перестановкой букв (например, «бьорд» является анаграммой слова «дробь»). Сколько анаграмм имеют слова «маг», «дед», «deus», «ирис»?
5. Сколькими способами можно выложить в ряд два белых и два черных шарика?
6. В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?
7. В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили выбрать два каких-то фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?
8. В турнире участвовали пять шахматистов, причем каждый шахматист сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько партий было сыграно на турнире?
9. Вите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три книги из пяти?
10. Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в продаже есть вафельные стаканчики, фруктовые стаканчики, шоколадные брикеты и эскимо?
11. Сколькими способами можно расставить три разных цветка в две вазы?
12. В некотором царстве три города: А, Б и В. Из А в Б ведут две дороги, из Б в В — пять дорог. Сколько различных путей ведут из А в В? Прямого пути между А и В нет.
13. У Ани четыре разных платья и три разных пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?

Формулы комбинаторики

1. Факториал

2. Перестановкииз n элементов

3. Размещения из n элементовпо m (n>m)

4. Сочетания из n элементов по m (n>m)

5. ТреугольникПаскаля

 Бином Ньютона

Список используемой литературы

1. Гармоничное развитое поколение – Основы прогресса Узбекистана.

Закон РУз «О национальнойпрограмме по подготовке кадров» - Ташкент, Шарк,  1997 г.

2. Закон «Об образовании» - Ташкент, Шарк, 1997 г.

3Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – Москва, Просвещение, 1990г, 224с.

11. Сайдаматов Э.М., Амалов А.К., Юнусов А.С. Алгебра и основы математического анализа. - Ташкент 2007г, 400с.

12. Под редакцией: А.Н. Колмогорова, Алгебра и начала анализа, Москва 1993г, 320с.

13. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва 1990г, 416с.

14. Боголюбов А.Н. Биографический справочник «Математики - механики», Киев 1983г, 640с.

15.Яковлев Н.М. Сохар А.М. Методика и техника урока в школе, Москва 1985г,208с.

16.Петроков М.С. Преподавание алгебры и начала анализа 1979г,208с.

17.Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Производная и интеграл, Москва

1976 г,94с.

{/spoilers}