Введение в комбинаторику. Перестановки. Размещения. Сочетания. Бином Ньютона.

Цели занятия:

Обучающие: познакомить учащихся с понятием факториала числа, понятием перестановок.Познакомить учащихся  с понятием «размещения». Вывести формулу для подсчёта числа размещений. Кратко познакомить учащихся с биографиями Б.Паскаля и И. Ньютона, их вкладом в развитие комбинаторики. Научить составлять треугольник Паскаля. С помощью известных формул квадрата и куба двучлена обобщить эту формулу для степени n. Познакомить учащихся с обобщённой формулой бинома Ньютона

{spoiler=Продолжать Читать}

 

2)Развивающие: Научить решать примеры на преобразование выражений, содержащих факториал. Научить решать задачи на перестановки                                       3)Воспитательные: воспитывать  чувство патриотизма и развивать интерес к профессии.

Наглядность и раздаточный материал:  Презентация. Портреты учёных-математиков. Танграм и фигурки из него. Тест.Карточки  с задачами.

Тип урока: освоение нового материала

Метод урока: комбинированный, мозговой штурм, игровой метод.

 Ход урока:

1. Оргмомент.(5мин)
2. Повторение.(15мин)
3. Изложение нового материала.(45)
4. Закрепление.(10мин)
5. Итог и домашнее задание(5мин)

1. Повторение «Своя игра»на тему «Интегралы и её применение»
   1. Что изучает комбинаторика?

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом порядке.

Например:

• 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?
• В столовой имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка. Сколько вариантов обедов можно составить?
• В классе 25 учеников. На городскую ёлку нужно выбрать 2 человек. Сколькими способами это можно сделать?
• В басне И.А. Крылова «Квартет»:

Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?

 

В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina-сочетать, соединять.Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого       конечного множества.

Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёному-генетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории вероятностей и т.д.

 

2. Исторический обзор.

С комбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок (магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла головоломка «Пифагор»).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем.Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646 -  1716г.г.)

немецкий философ и математик.

Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. До наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Аристотелем, с Леонардо да Винчи или Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно изучил латынь, а еще через два года — древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов.

• Лейбниц, наряду с Ньютоном, создатель математического анализа— дифференциального и интегрального исчисления.
• Лейбниц также ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.
• Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.
• В 1666 г. он опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве», в которой рассмотрел вопросы сочетаний элементов, рассмотрел применение комбинаторики в арифметике, логике, в стихосложении. В течение своей жизни Лейбниц неоднократно обращался к вопросам комбинаторики. Мечтой его жизни, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены и обобщены  известные к тому времени комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по комбинаторике на протяжении двух столетий.

Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

Леонард Эйлер

(1707 - 1783г.г.) — выдающийся математик, родился в Швейцарии, жил и работал в России.Внёс значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят

высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.

В настоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной школы.

Геометрические комбинации

Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей.

Упражнения.

На каждой парте разрезанныйТанграм. Учащимся предлагается собрать по образцу несколько фигурок.

3. Методы решения комбинаторных задач

Задача. Дано множество чисел {1,2,3,4}. Составьте: а) двузначные числа

б) четырёхзначные числа

Решение:

Метод перебора: двузначные числа – 12,  13,  14,

21,  23,  24,

31,  32,  34,

41,  42,  43. Всего 12 чисел.

«Дерево вариантов»:   

1234

1243

1324 6 чисел

1342

1423

 1432

Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Упражнения.

1. Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании. Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место. Боря занял 2 место. Вова не последний. Какое место у каждого мальчика?

 

	1	2	3	4
Коля	-	-	+	-
Боря	-	+	-	-
Вова	+	-		-
Юра	-	-	-	+

2. Петя и Вася пишут контрольную по математике. Каждый может получить любую из оценок 2,3,4,5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?

П2 В2    П2 В3     П2 В4     П2 В5

П3 В2    П3 В3     П3 В4     П3 В5

П4 В2    П4 В3     П4 В4     П4 В5

П5 В2    П5 В3     П5 В4     П5 В5, всего 16 вариантов.

Факториал числа

Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor– «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в 1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

n! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ n

Для каждого целого положительного числа nфункция n!равна произведению всех целых чисел от 1 до n.

Для удобства полагают по определению 0!=1. О том, что 0!  должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

Функция n!растёт с увеличением nочень быстро.

1!=1,

2!=2,

3!=6,

4!=24,

5!=120,

…..

10!=3 628 800.

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по­лезно использовать равенство

(n+ 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!

1. Преобразование выражений, содержащих факториал

Вычислить:

• 3) 
• 4)

Упростить выражение:

1)                          3)

2)                            4)

Решить уравнение:

1)                   2)

2. Тест № 2

1. Вычислите: 1)                        2)                   3)

2. Решите уравнение:
3. В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту,культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать?
4. «Любовь без взаимности» Трое юношей:  Коля, Петя и Юра влюблены в трёх девушек - Таню, Зину и Галю. Но эта любовь без взаимности.       - Коля любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Зину;     - Петя любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Галю;    – Зина не любит Юру.   Кто в кого влюблён?

Перестановки

1. Перестановки из п элементов

В басне И.А. Крылова «Квартет» Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?

Вспомним «дерево вариантов». Обозначим животных цифрами .

Пусть

1 – козёл,

2 – осёл,

3 – мартышка,

4 –  мишка.

 Получим, что возможных вариантов их расстановки  4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

В задаче были подсчитаны всевозможные комбинации из четырёх элементов,

отличающиеся друг от друга только порядком расположение в них элементов. Такиекомбинации называютсяперестановками из нескольких элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

Лейбницем в 1666 г. в работе «Рассуждение о комбинаторном искусстве» впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.

 Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Р_n (Р- первая буква французского слова permutation – перестановка).

С помощью правила произведения можно обосновать, что

Р_n= n∙(n-1)∙… ∙3∙2∙1.

   После применение переместительного закона  умножения перепишем формулу в виде:

P_n=1∙2∙3∙…∙ (n-1) ∙n.

   Для сокращённой записи произведения первых n натуральных чисел используется факториал   n!

Рn= n!

2. Решение задач.
   • 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть? (120)
   • Сколько фигурок можно составить из Танграма? (5040)
   • Свидетель ДТП заметил номер машины, совершившей наезд. Он запомнил, что в номере буквы АВ и цифры 2, 3, 4, но не помнит их порядок. Сколько вариантов номеров нужно проверить милиции, чтобы найти нарушителя? (6)
   • Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4? (96)
   • Придумать задачу на применение формулы перестановок

Размещения

Задача. Имеется множество чисел N = {1,2,3,4,5}.

а) Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?

Решение: Данные комбинации чисел будут перестановками,  Р₅ = 5! = 120

б) Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?

Решение:Это уже не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя  способами, т.е. число трёхзначных чисел будет 5× 4 × 3 =  60

в) Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны?

Решение: Это также не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя  способами, четвёртую – двумя способами, т.е. число четырёхзначных чисел будет

5× 4 × 3 × 2 =  120

Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок?
При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Такие комбинации, отличающиеся друг от друга порядком элементов и составом,  называются размещениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Размещением из n элементов по k (k £n) называется любое подмножество данного множества, состоящее из любых k  элементов, взятых в определённым порядке из данных n элементов.

 Число размещений из n элементов по k обозначают   (читают А из n по k).

Размещения – это упорядоченные подмножества данного множества.

По правилу произведения число упорядоченных k-элементных подмножеств множества N, состоящего из n элементов, находится как произведение чисел: n (n – 1) (n – 2) (n – 3)….(n – k + 1). Или число размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Можно сказать что размещения из п элементов по п – это перестановки из п-элементов. Сравним число таких комбинаций, вычисленное по формуле размещений и по формуле перестановок:

, т.е. P_n = n!

Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Искусство предугадывания», опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин.

Яков (Якоб) Бернулли

Математик, физик, астроном и механик Яков Бернулли (1654 — 1705) родился в Базеле (Швейцария).

Отец хотел, чтобы сын был священником, и поэтому Я. Бернулли, поступив в Базельский университет, в основном изучал теологию и языки. Он владел немецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками. Но больше всего его привлекала математика, которую он изучал тайком от отца. Наиболее значительные достижения Якова I в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В 1687г., ознакомившись с первымиработами Г.Лейбница по дифференциальному исчислению (1684г.), Бернулли применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и др. Определил площадь сферического треугольника, вычислил площади конусоидальных и сфероидальных поверхностей, произвел многочисленные квадратуры и спрямления. Книга Бернулли "Арифметические приложения о бесконечных рядах и их конечных суммах" (1689-1704гг.) явилась первым руководством по теории рядов. Бернулли – это целая семья математиков. Совместно с братом Иоганном I,Яков положил начало вариационному исчислению. Выдвинул и частично решил изопериметрическую задачу и задачу о брахистохроне, или кривой быстрейшего спуска, поставленную братом Иоганном. В труде "Искусство предложения" Яков I в 1713г. решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.

1. Решение задач

Задача № 1. Сколько двузначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4?

Это размещения из 4 элементов по 2.

Задача № 2. Сколько всего 7-значных телефонных номеров, в каждом из которых цифры не повторяются?

Это размещения из 10 элементов по 7.

Задача № 3. Сколькими способами могут занять 1, 2, 3 места 8 команд -  участниц городского турнира по волейболу?

Задача 4. Сколько двузначных чисел, цифры которых разные,  можно составить из чисел 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Это размещения из 10 по 2, но нужно исключить те числа, первая цифра которых 0, таких чисел 9.

Сочетания

Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько различных коктейлей можно получить из этих соков, если смешивать в каждом по три вида соков?

Зависит ли вкус коктейля от того, в каком порядке находятся в нём соки? Конечно, нет. Т.е.  это не размещения. 

Подсчитаем вначале, сколько будет размещений из 5 по 3:

60

Но размещения АБВ и БВА  в коктейле дают один и тот же результат, всего таких перестановок  Р₃ = 3! = 6.

Значит, число коктейлей в 6 раз меньше возможного числа размещений, 60: 6 = 10, или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Число всехкомбинаций из nэлементов по k, отличающиеся друг от друга только составом элементов, называютсясочетаниями из n элементом по k.

Обозначаются ,  (от фран.Combinaison  –сочетание ).

Формула для числа сочетаний получается из формулы  числа размещений. В самом деле, составим сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. Но из каждого k- сочетания можно сделать Р_k  перестановок.

Значит, справедлива формула:или

   откуда: 

Число сочетаний из nэлементов по k вычисляется по формуле:

Задача . Имеются киви, лимон, помидор, виноград. Вычислим, сколькими способами можно их взять, если можно брать по 2 штуки. А если брать по 3 

Проверим наше решение по формуле числа сочетаний

 

Число сочетаний имеет некоторые свойства

 

1. Закрепление

Задача 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3 дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3.

Задача № 2. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них  двоих для участия в олимпиаде?

Задача 3.В классе 30 учеников. Нужно разделить их на «миги» по 5 человек. Сколькими способами это можно сделать? (142506

Дополнительные задачи:

1. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать их 14 преподавателей? (ответ: 3432)

2. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий? (ответ: 66)

3. На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки? (ответ: 10)

4. Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? (ответ: 35)

 

1. Треугольник Паскаля

 ПАСКАЛЬ, БЛЕЗ(1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия.

Его дарования проявились очень рано: в 12 лет он самостоятельно, пользуясь собственным словарем и схемами, которые рисовал в комнате для игр, пришел к некоторым геометрическим выводам и доказал 32-й теорему Евклида о сумме углов треугольника. В 16 лет он написал замечательный Опыт о конических сечениях, содержащий теорему (называемую теперь теоремой Паскаля), согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой.Чтобы облегчить отцу трудоемкие финансовые расчеты (его отец работал в Палате по сбору налогов), Блез придумал машину, способную складывать и вычитать,  прообраз механического калькулятора.  Сконструировав за несколько лет около 50 образцов арифметической машины, Блез в 1649 г.  получил королевскую привилегию на свое изобретение – «Паскалево колесо». Машина в своем окончательном виде помещалась в небольшом продолговатом ящике и была проста в работе.

Паскаль написал несколько работ по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики и социологии.В историю физики Паскаль вошел, установив основной законгидростатики и подтвердив  предположение Торричелли о существовании атмосферного давления.  В честь Паскаля названа единица измерения давления системы СИ. Кроме того, его имя носит один из языков программированияPascal, а также способ расположения биномиальных коэффициентов в таблицу — треугольник Паскаля, которому он посвятил своё сочинение «Трактат об арифметическом треугольнике».

 

Треугольник Паскаля – это числовая таблица треугольной формы.  Она была известна ещё учёным Древней Индии, но её заново открывали и изучали многие математики.

 

							1
						1		1
					1		2		1
				1		3		3		1
			1		4		6		4		1
		1		5		10		10		5		1
	1		6		15		20		15		6		1
1		7		21		35		35		21		7		1

 

Вопрос к учащимся: «Заметили ли вы какую-нибудь закономерность? А правило составления этого треугольника? Откуда берутся эти числа и где они встречаются?»

Иногда треугольник Паскаля записывают иначе:

 

n
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1

 

Продолжите ещё два ряда в треугольнике Паскаля.

Оказывается это коэффициенты разложения двучлена (a + b)ⁿ

Вычислим: .  Сравним с числами из таблицы.

Не вычисляя, назовите чему равно  

2. Бином Ньютона

Исаак НЬЮТОН (1643-1727г.г.), английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, один из основоположников современной физики, сформулировал основные законы механики и был фактическим создателем единой физической программы описания всех физических явлений на базе механики; открыл закон всемирного тяготения, объяснил движение планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, а также приливы в океанах, заложил основы механики сплошных сред, акустики и физической оптики. Построил зеркальный телескоп.

Исаак Ньютон появился на свет в небольшой деревушке в семье мелкого фермера, умершего за три месяца до рождения сына. Младенец был недоношенным; бытует легенда, что он был так мал, что его поместили в овчинную рукавицу, лежавшую на лавке, из которой он однажды выпал и сильно ударился головой об пол.

Ньютон рос болезненным и необщительным, склонным к мечтательности. Его привлекала поэзия и живопись, он, вдали от сверстников, мастерил бумажных змеев, изобретал ветряную мельницу, водяные часы, педальную повозку. Трудным было для Ньютона начало школьной жизни. Учился он плохо, был слабым мальчиком, и однажды одноклассники избили его до потери сознания. Переносить такое унизительное положение было для самолюбивого Ньютона невыносимо, и оставалось одно: выделиться успехами в учебе. Упорной работой он добился того, что занял первое место в классе.

После серьезной подготовки Ньютон в 1660 г. поступил в Кембридж. Интерес к технике заставил Ньютона задуматься над явлениями природы. Он серьёзно занялся наукой. Многие из проведенных им экспериментов (а их насчитывается более тысячи) стали классическими и повторяются и сегодня в школах и институтах. Его труды намного опередили общий научный уровень того времени и были малопонятны его современникам.

 В области математики он является автором бинома Ньютона и создателем (одновременно с Лейбницем, но независимо от него) метода флюксий — того, что ныне называется дифференциальным и интегральным исчислением.

Бином – двучлен. Бином Ньютона – формула, выражающая степень двучлена в виде суммы одночленов. Блез Паскаль доказал, что

 

коэффициенты разложения (a + b)ⁿ равны   - числу сочетаний из n по k.

 

(*)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1,2,1)   (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3                     (1,3,3,1)   (a + b)4 = a4 + 4a3 b +  6a2 b2 + 4a b3 + b4   (1,4,6,4,1)

И. Ньютон доказал, что формула (*) разложения бинома в сумму выполняется не только для целых степеней, но и для отрицательных, и для дробных степеней. Поэтому таблица биномиальных коэффициентов – треугольник Паскаля, а формула разложения (*) – это бином Ньютона.

Свойства бинома Ньютона:

• Число слагаемых на 1 больше степени
• Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля
• Коэффициенты симметричны
• Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются
• Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома

3. Упражнения

Раскройте скобки:

• (х + у)⁵
• (c + d)⁶
• (m – n)⁷

Закрепление

Игра в  шахматы «Ход конём»

Решение  кросснамберов

Домашнее задание

Раскройте скобки:

• (a – b)⁸
• (c + 1)⁴
• (x + 2)⁵

 

• Составить числа из 5 двоек
• Составить фигурки из Танграма
• Решить задачи:
• Сколькими способами можно выложить в ряд 2 белых и 2 чёрных шарика?
• В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили взять два каких-либо фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?
• У Ани 4 платья и 3 пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?

 

4.Турист решил объехать 10 городов Золотого кольца. Сколько у него существует вариантов выбора маршрута?

5.На балу собрались 10 дам и 10 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары ?

6.Имеется множество чисел N = {1,2,3,4,5}.

7.Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?

8.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны?

9.Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?

• В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга?
• Сколько можно сшить различных трёхцветных флажков, если имеются ткани пяти цветов?
• Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? (цифры могут повторяться)

• В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?
• Иван-царевич едет в гости в соседнее королевство и везет в подарок трем дочерям короля перстень, браслет и ожерелье. Что кому дарить, он пока не решил. Сколько у него вариантов распределить подарки?
• Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а все остальные строки разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек. Сколькими способами они могут выбрать из состава кабинета премьер-министра, первого и второго вице-премьеров

{/spoilers}