Структурные формулы Исполнитель

Структурные формулы

{spoiler=Далее}

Структурные формулы

Структурная формула для определения числа степеней свободы плоских механизмов предложена русским ученым Чебышевым П.Л. в начале XX века:

                            (2.1)

где: W – число степеней свободы механизма;

        n – количество подвижных звеньев;

р _н – число низших кинематических пар;

р _в – число высших кинематических пар;

        s – число избыточных связей или лишних звеньев.

Избыточные связи или лишние звенья – это такие звенья, которые можно удалить из механизма без нарушения движения оставшихся звеньев механизма. Как правило, это дополнительные промежуточные звенья, которые вводятся в механизм для увеличения его нагрузочной способности, жесткости и пр. То есть, лишними могут быть звенья только в структурном смысле.

Используем эту формулу для определения числа степеней свободы вышеприведенных механизмов. Стержневой механизм на рис. 2.4 имеет три подвижных звена и четыре низшие кинематические пары – шарниры в точках А, В, С и D. Высших кинематических пар и лишних звеньев нет. Значит,

Вывод: механизм имеет одно входное звено.

Стержневой механизм на рис. 2.5 содержит четыре подвижных звена и пять низших вращательных кинематических пар:

Вывод – механизм имеет два входных звена, то есть для приведения в действие этого механизма надо подвести два движения к двум его звеньям. Заметим, что, так как подавляющее большинство механизмов имеют одну степень свободы, то, получив при анализе какого-либо механизма W = 2 не следует сразу делать вывод о наличии в этом механизме двух входных звеньев, как это было сделано для механизма на рис. 2.5.  Вторая степень свободы может объясняться наличием каких-то дополнительных условий (см. ниже).

         Рассмотрим стержневой механизм на рис. 2.3а: у него три подвижных звена и четыре низшие кинематические пары – три вращательные и одна поступательная.

Вывод: механизм  имеет одно входное звено (звено 1).

         Напишем структурную формулу для кулачкового механизма на рис. 2.3б. Этот механизм имеет три подвижных звена, три низшие вращательные кинематические пары – в точках А, В и С, и одну высшую кинематическую пару – точке контакта К ролика с кулачком:

 Механизм имеет две степени свободы, но это не значит, что он содержит два входных звена, входное звено одно – кулачок. Вторая степень свободы – это местная подвижность, а именно, независимое вращение ролика 2. При хорошей смазке в оси ролика, он перекатывается по поверхности кулачка, при заклинивании ролика на оси, ролик будет неподвижен относительно звена 3 и будет скользить по поверхности кулачка. В общем случае ролик перекатывается со скольжением, то есть, движение его может быть независимым от движения остальных звеньев механизма. Вывод: механизм имеет одну главную подвижность – входное звено 1 и одну местную подвижность: независимое движение звена 2.

         Зубчатый механизм на рис. 2.3в содержит три подвижных звена (зубчатые колеса 1, 2 и 3), три низшие вращательные кинематические пары и две высшие пары в местах зацепления зубьев колес:

Вывод: механизм имеет одно входное звено: в данном случае зубчатое колесо 1.

Для выяснения смысла понятия «избыточная связь или лишнее звено» рассмотрим стержневой механизм, показанный на рис. 2.6а. Такой механизм называется шарнирным параллелограммом, так как его звенья попарно равны и параллельны: первое звено равно и параллельно третьему, а второе – стойке АD.  Число  степеней свободы этого механизма равно единице:

Добавим к этому механизму еще одно звено 4 равное и параллельное звену 2 при помощи двух кинематических пар в точках Е и F (рис. 2.6б). Простота схемы дает возможность убедиться, что этот механизм, несмотря на усложнение, сохранил прежнюю подвижность, то есть, его число степеней свободы по-прежнему равно единице. Однако расчет по формуле Чебышева дает нулевой результат, из чего теоретически можно сделать вывод, что эта механическая система является неподвижной, то есть, это не механизм, а ферма.

Рис. 2.6.

Это было бы действительно так, если бы звено 4 не было параллельно звену 2. Но так как эти звенья параллельны, то система имеет подвижность, то есть, это механизм. Звено 4 является лишним в структурном смысле, то есть, оно может быть удалено из механизма без нарушения принципов его движения, а в формуле Чебышева это учитывается, как s = 1:

В реальных механизмах дополнительные звенья устанавливаются для увеличения нагрузочной способности и жесткости (спарники локомотивов, сателлиты планетарных редукторов и пр.).

Для определения числа степеней свободы пространственных механизмов служит структурная формула Малышева, предложенная им в двадцатых годах ХХ века:

             (2.2)

 где р₁, p₂, p₃, p₄ и p₅  –  количество кинематических пар, класс которых соответствует индексу.

В качестве примера определения числа степеней свободы пространственного механизма рассмотрим исполнительный механизм робота – манипулятор. Такие механизмы принципиально отличаются от механизмов, описанных выше. Механизмы, показанные на рис. 2.3 – 2.6  и им подобные, имеют, как минимум, два обозначения стойки (подштриховка). Такие механизмы называются замкнутыми, то есть, их кинематическая цепь, начавшись кинематической парой, образованной входным звеном и стойкой, опять приходит к стойке (замыкается) через выходное звено (а может быть еще и через промежуточные звенья у сложных механизмов). Механизмы манипуляторов являются незамкнутыми, только одно из подвижных звеньев образует кинематическую пару со стойкой.

Рис. 2.7.

На рис. 2.7а показана схема манипулятора транспортного робота М-22. Этот манипулятор содержит три подвижных звена, третье звено имеет схват для зажима объекта транспортирования. Кинематические пары: в точке А – цилиндрическая IV класса, в точке В – поступательная V класса и в точке С – сферическая III класса.

         Для определения числа степеней свободы манипулятора используем формулу Малышева (2.2):

Это означает, что для однозначного нахождения позиций всех звеньев представленного манипулятора надо задать шесть независимых коорди­нат. Управление каждой координатой может производиться отдельным двигателем или от одного двигателя при помощи систем передач, управ­ляемых муфт и т.д.

Из анализа манипулятора следует: заключение, сделанное выше о том, что подавляющее большинство механизмов имеют одну степень свободы, относится только к замкнутым механизмам, но совершенно не относится к манипуляторам. Заметим  также, что число степеней свободы манипулятора равно сумме подвижностей каждой кинематической пары, входящей в него. Поэтому, подсчет числа степеней свободы может вестись не по формуле Малышева, а по подвижностям кинематических пар.

 Рассмотрим для примера манипулятор транспортного робота Maskot, схема которого дана на рис. 2.7б. У него три подвижных звена, одна сферическая кинематическая пара в точке А и две сферические пары с пальцем в точках В и С. Сферическая пара имеет три подвижности, а сферические пары с пальцем – по две подвижности, следовательно, манипулятор имеет семь степеней свободы.

{/spoilers}