Кручение. Напряженное состояние и условие прочности Исполнитель

Кручение. Напряженное состояние и условие прочности

{spoiler=Далее}

Кручение. Напряженное состояниеи условие прочности

         Напомним, что брус, работающий на кручение, называется валом. Вал деформируется под действием только одного силового фактора – крутящего момента. Напряженным состоянием при кручении является сдвиг элементарных площадок.

Рассмотрим элемент вала с радиусом rи длиной dx, один конец которого закреплен неподвижно, а другой нагружен крутящим моментом М_к (рис. 13.5а).

Под действием крутящего момента элемент вала закрутится, в результате чего сечение, к которому этот крутящий момент приложен, повернется на абсолютный угол закручивания dj, а образующая цилиндра вала повернется на угол сдвига g. Этим углам соответствует дуга закручивания, ее величину можно определить по rи dj, а также по gи dx, то есть:

Рис. 13.5.

Отсюда угол сдвига:

                                          (13.8)

Величина dj/dxназывается относительным углом закручивания, обозначается j₀ и характеризует рассматриваемое деформированное состояние. То есть можно записать:

                                          (13.9)

         Чтобы узнать величину касательного напряженияt_К в материале элемента вала на дуге закручивания, применим закон Гука при сдвиге (13.5):

                                      (13.10)

         Характер распределения касательных напряжений по диаметру вала узнаем, выделив внутри него призматический элемент, подобно тому, как это было сделано при рассмотрении чистого сдвига (рис. 13.3). Этот элемент расположен на расстоянии r от оси вала и имеет площадь грани ds (рис. 13.5б). Согласно (15.10), касательное напряжение на грани этого призматического элемента:

                                      (13.11)

         Исходя из этого выражения, можно сделать вывод, что касательные напряжения в сечении вала пропорциональны радиусу: t_min = 0 при r = 0и t_max = Gj₀ rпри r = r. Можно сказать, что касательные напряжения внутри вала меняются по закону прямой линии пропорционально расстоянию от оси вращения. В центре поперечного сечения вала напряжение равно нулю, на поверхности вала оно максимально (t_к на рис. 13.5в). Внутренние слои материала вала напряжены мало, поэтому часто валы выполняют полыми (пустотелыми, трубчатыми) для экономии металла и облегчения конструкции. В частности, в самолетостроении и вертолетостроении используют только полые валы. Эпюра напряжений в полом валу показана на рис. 13.5г. При одинаковом крутящем моменте площади эпюр касательных напряжений сплошного вала на рис. 13.5в и полого вала на рис. 13.5г должны быть одинаковыми.

         Условие прочности может быть выведено из (13.10), если связать касательное напряжение и крутящий момент.

         Элементарный крутящий момент (рис. 13.5б):

С учетом (13.11) получаем:

Суммируя элементарные крутящие моменты по всей площади поперечного сечения вала, получим выражение для крутящего момента:

         Интеграл  обозначается J_ри называется полярным моментом инерции сечения – это сумма произведений всех элементарных площадок поперечного сечения на квадрат их расстояния от центра:

         Выражение крутящего момента теперь запишется так:

                                (13.12)

         Из (13.10) имеем:

Подставив это выражение в (13.12), получим:

Откуда:

         Отношение полярного момента инерции сечения к его радиусу называется полярным моментом сопротивления сечения и обозначается W_p:

                                       (13.13)

         Максимальное касательное напряжение вала:

                                       (13.14)

         Полярный момент сопротивления имеет размерность мм³, он является основной расчетной величиной сечения при расчетах на кручение. Формулы полярного момента сопротивления зависят от формы сечения и приведены в справочниках. Например, для круглого сечения (рис. 13.5в):

Для кольцевого сечения (рис. 15.5г):

         Условие прочности при кручении выглядит так:

£                                  (13.15)

где[t] – допускаемое напряжение при кручении.

{/spoilers}