Критическая сила при продольном изгибе. Формула Эйлера Исполнитель

Критическая сила при продольном изгибе. Формула Эйлера

{spoiler=Далее}

Критическая сила при продольном изгибе.Формула Эйлера

Явление продольного изгиба было исследовано в середине 19 века Эйлером (этот русский ученый немецкого происхождения уже упоминался в §5.2 по зубчатым механизмам). В решении Эйлера предполагалось, что изгиб стержня, сжатого осевой силой, происходит в пределах упругих деформаций (в пределах справедливости закона Гука), то есть напряжение в стержне не может превышать предела пропорциональности для его материала. На основании исследования им была предложена формула (формула Эйлера), позволяющая определить величину критической силы F_крдля центрально сжатого стержня. Приведем эту формулу без вывода:

                                    (16.1)

где: Е – модуль продольной упругости материала стержня в МПа;

J_min – наименьший из осевых моментов инерции поперечного се-

чения стержня в мм⁴ (потеря устойчивости стержня проис-

        ходит в плоскости наименьшей жесткости);

l – длина стержня в мм;

m– коэффициент приведения длины, учитывающий характер за-

      крепления концов стержня.

Произведение mlчасто называют приведенной длиной стержня. На рис. 16.2 приведены примеры наиболее часто встречающихся способов закрепления стержней и даны соответствующие им значения коэффициентов m. Тонкими линиями показаны возможные формы оси стержня при продольном изгибе.

Под действием критической силы в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые также являются критическими s_кр. С учетом (16.1) имеем:

Рис. 16.2.

                           (16.2)

где S – площадь поперечного сечения стержня.

          Для преобразования этого выражения используем радиус инерции сечения относительно оси (14.8) – квадрат радиуса инерции равен отношению осевого момента инерции сечения к его площади:

Тогда из (16.2) имеем:

Введем обозначение:

                                         (16.3)

Тогда:

                                      (16.4)

Безразмерная величина l (16.3) называется «гибкость стержня» и характеризует его способность сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и способа закрепления концов.

Из формулы (16.4) видно, что гибкость l полностью определяет величину критического напряжения для стержня из данного материала. Чем больше l, тем меньше s_кр  и тем меньше величина критической силы, вызывающей продольный изгиб стержня. И наоборот – чем меньше гибкость стержня, тем больше величина критического напряжения, однако, она не может превышать предела пропорциональности s_П (см. выше). Таким образом, должно соблюдаться условие:

£

Отсюда:

/

         Знак равенства в этом выражении определяет наименьшее (предельное) значение гибкости l_пред, при котором формула Эйлера еще применима:

                                   (16.5)

         Приведем значения предельной гибкости для некоторых металлов. Для стали марки Ст 3 s_П = 200 МПа, Е = 2×10⁵ МПа; тогда:

Для стали марки Ст 5 l_пред» 90, для чугуна l_пред» 80.

         Если гибкость стержня меньше предельного значения, то пользоваться формулой Эйлера нельзя, так как в этом случае получается завышенное (недопустимое) значение критической силы.

{/spoilers}