Контактные напряжения

{spoiler=Далее}

Контактные напряжения

         Местные напряжения, возникающие в силовом контакте в месте передачи внешней нагрузки между телами (звеньями), образующими высшую кинематическую пару, называются контактными напряжениями. Вследствие упругой деформации материала в месте соприкосновения возникает площадка контакта, по которой и происходит передача давления.

         Контактные напряжения играют основную роль при расчете шариковых и роликовых подшипников, зубчатых передач, кулачковых механизмов. Эти напряжения определяются методами теории упругости при следующих допущениях.

         1. В зоне контакта возникают только упругие деформации, следующие закону Гука.

         2. Линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусами кривизны соприкасающихся поверхностей.

         3. Силы давления, распределенные по поверхности контакта, нормальны к этим поверхностям.

         4. На поверхности контакта возникают только нормальные напряжения.

Основоположником теории контактных напряжений является немецкий ученый Герц (Herz), поэтому контактное напряжение обозначается буквой s с индексом Н. Рассмотрим результат этой теории на примере сжатия двух тел, имеющих цилиндрические закругления; контакт тел происходит по этим цилиндрическим поверхностям, оси которых параллельны (рис. 17.3).

 Рис. 19.3.

Теоретически контакт этих тел происходит в высшей кинематической паре, то есть по линии. Однако после приложения удельной нагрузки q, в результате упругой деформации контактирующих поверхностей, контакт тел происходит по узкой площадке. Значения максимальных контактных напряжений σ_Н находятся на продольной оси симметрии контактной площадки. Значение этих напряжений вычисляется по формуле:

     (17.3)

где: Е₁ и Е₂ – модули продольной упругости (модули Юнга) контакти-         

                   рующих тел;

μ₁ и μ₂ – коэффициент Пуассона (отношение поперечной дефор-

мации к продольной);

r₁ и r₂ – радиусы контактирующих цилиндров.

         Для упрощения формулы (19.3) введем обозначения приведенного модуля упругости Е_пр и приведенного радиуса кривизны контактирующих поверхностей ρ_пр:

                                          (17.4)

                                           (17.5)

Кроме того, приблизим формулу (13.3) к расчету стальных деталей, так как в силовых передачах общего машиностроения, а также в самолетостроении, используются в основном стальные детали в подшипниках, зубчатых и кулачковых механизмах. Модуль упругости для стали Е_пр = Е₁ = Е₂ = 2,1·10⁵ Н/мм² (МПа). Коэффициент Пуассона для стали μ₁ = μ₂ = 0,3. Подставляя эти значения и формулу (17.5) в выражение (17.3) после извлечения числовых значений из-под корня, получим:

                                       (17.6)

         Эта формула справедлива для любых стальных цилиндров с постоянными или переменными радиусами кривизны, в том числе для цилиндров с образующими в виде эвольвент, то есть, для поверхностей зубьев. В этом случае, r₁ и r₂ – радиусы кривизны эвольвент зубьев в точке контакта. Знак минус в формулах (17.3) и (17.5) относится к случаю внутреннего контакта, когда поверхность одного из цилиндров вогнутая (контакт роликов с внешним кольцом подшипника, внутреннее зубчатое зацепление и пр.).

         Формула (17.6) показывает, что контактные напряжения не пропорциональны нагрузке, например, если нагрузка увеличится в четыре раза, то контактные напряжения возрастут в два раза. То есть, контактные напряжения увеличиваются медленнее, чем нагрузка. Это объясняется тем, что с увеличением нагрузки увеличивается и площадка контакта. Если площадка контакта увеличится настолько, что станет сопоставимой с радиусами кривизны контактирующих тел, то приведенные выше расчетные зависимости оказываются непригодными для нахождения напряжений в контакте.

В частности, такой случай имеет место при внутреннем контакте цилиндров, диаметры которых мало отличаются друг от друга (рис.

17.4а). Примерами такого контакта могут служить низшие кинематические пары плоских механизмов: вал в подшипнике скольжения, шарниры стержневых механизмов, шарниры цепей цепных передач. Разность диаметров здесь минимальна и объясняетсянеобходимостью относительного движения в присутствии смазки. Другим примером является соединение деталей при помощи чистого болта или штифтовое соединение. Разность диаметров в этом случае измеряется сотыми долями миллиметра и объясняется технологическими соображениями
сборки или эксплуатации соединения.

Рис. 17.4.

         Напряжения при таком контакте уже фактически не являются местными, так как распределены по относительно большой поверхности. Если их и называют иногда местными, то лишь условно, чтобы отличить от других напряжений – растяжения, изгиба или кручения, распределенных равномерно по всему объему деталей.

         Контактные напряжения в этих случаях ограничены допустимым удельным давлением в подшипниках и шарнирах или допустимым напряжением смятия между телом болта или штифта и цилиндрической поверхностью отверстия в детали. Действительное распределение напряжений по цилиндрическим контактирующим поверхностям довольно сложно, поэтому расчет ведется условно по напряжению в диаметральной плоскости шарнира или болта (штифта).

Условие прочности на смятие для штифтового соединения, нагруженного растягивающими силами (рис. 17.4б), выглядит так:

£                             (17.7)

где: S_см – площадь смятия;

d – толщина наиболее тонкой соединяемой детали;

d – диаметр штифта;

[s_см] – допускаемое напряжение смятия.

         Допускаемое напряжение смятия обычно принимается в два, два с половиной раза больше допускаемого напряжения на растяжения для материала штифта или наиболее тонкой из соединяемых деталей:

{/spoilers}