Деформации и напряжения. Условие прочности

Matn

{spoiler=Далее}

Деформации и напряжения. Условие прочности

Изгибающие моменты и поперечные силы, действующие на балку, деформируют ее и вызывают появление двух типов напряжений. В самом простом случае это выглядит так. Горизонтальная двухопорная балка под действием вертикальной силы, направленной вниз, прогибается между опорами. При этом нижние слои балки растягиваются, а верхние – сжимаются, то есть, в нижних слоях материала балки возникают нормальные (перпендикулярные к плоскости сечения балки) напряжения растяжения, а в верхних – нормальные напряжения сжатия. Это результат действия изгибающих моментов (рис. 14.4). Результатом действия поперечных сил является появление напряжений среза – касательных напряжений, действующих в плоскости сечения балки.

Многочисленные исследования и длительная практика эксплуатации нагруженных балок показали, что наиболее опасными, определяющими работоспособность конструкции, являются нормальные напряжения растяжения в сечениях балки в результате действия изгибающих моментов. Поэтому, в большинстве случаев, при любом способе нагружения, расчет балок производится с учетом только изгибающих моментов.

Рассмотрим деформированное и напряженное состояние балки под действием изгибающего момента. Если на прямую балку произвольного сечения действуют изгибающие моменты, то она изогнется так, как показано на рис. 14.6а. При этом верхние продольные слои балки будут сжаты, то есть, длина их станет меньше первоначальной, а нижние – растянуты и их длина станет больше первоначальной. Между ними существует слой, который при изгибе балки не изменит свою длину. Такой слой называется нейтральным. Пересечение этого слоя с поперечным сечением балки образует нейтральную ось. Расположение нейтральной оси зависит от формы поперечного сечения, как правило, эта ось проходит через центр тяжести сечения и характеризуется расстоянием h от нижней границы этого сечения (рис. 14.6б).

Рис. 14.6.

Выше было сказано, что наиболее опасным с точки зрения прочности являются напряжения растяжения в растянутых волокнах балки. Поэтому рассмотрим деформацию внешнего (растянутого) слоя балки с некоторыми упрощениями и допущениями.

Выделим элементарный участок балки, ограниченный двумя поперечными сечениями, находящимися на расстоянии dx друг от друга. Будем считать, что при изгибе нейтральный слой этого элементарного участка изгибается по дуге окружности с радиусом r (рис. 14.6в), но сохраняет свою первоначальную длину. Сечения, расположенные по краям участка поворачиваются друг относительно друга на угол dQ, но остаются плоскими. Длина дуги внешнего слоя балки, от-

стоящего от нейтрального слоя на расстояние h, стала больше на величину абсолютного удлинения:

Относительное удлинение внешней дуги:

Так как dx = rdQ, то dQ/dx = 1/r. Тогда:

По закону Гука напряжение во внешнем слое, отстоящем на расстоянии hот нейтрального:

(14.4)

Отсюда можно сделать вывод, что нормальные напряжения в поперечном сечении изогнутой балки прямо пропорциональны расстояниям у от рассматриваемых точек до нейтральной оси:

(14.5)

Из формулы (14.5) следует: s = 0 при у = 0 и s = s_maxпри у = h, то есть нормальное напряжение растяжения равно нулю на нейтральном слое и достигает максимального значения в наиболее удаленных от этой оси волокнах выпуклой части балки (рис. 14.7а). Внутренние слои балки испытывают небольшие напряжения при изгибе, и это учитывается при создании формы поперечного сечения балок – для облегчения конструкции эту форму делают не прямоугольной, а в виде швеллера, двутавра, уголка и пр.

Рис. 14.7.

Выведем формулу наибольшего нормального напряжения, пригодную для инженерных расчетов. Напряжение s связано с изгибающим моментом так (рис.14.7б):

(14.6)

где: dS – элементарная площадка поперечного сечения балки;

y – расстояние от элементарной площадки до нейтральной оси.

Произведение sdSявляется элементарной внутренней силой, а sdSу – элементарным моментомвнутренних сил.

Значение s подставим из (14.5) в (14.6):

Интеграл обозначается Jи называется моментом инерции сечения относительно нейтральной оси или осевым моментом инерции – это сумма произведений всех элементарных площадок поперечного сечения на квадрат их расстояния от нейтральной оси:

(14.7)

(В скобках заметим, что в некоторых расчетах используется величина, называемая радиусом инерции относительно оси: квадрат радиуса инерции – это отношение осевого момента инерции к площади поперечного сечения:

(14.8)

Физический смысл этого понятия определяется равенством, вытекающим из выражения (16.8):

(14.9)

То есть, осевой момент инерции сечения не изменится, если мысленно осредоточить всю его площадьSна расстоянии iот оси).

Выражение изгибающего момента теперь запишется так:

(14.10)

Значение 1/r из (16.4) подставляем в (16.10):

Откуда:

(14.11)

Отношение осевого момента инерции к расстоянию от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления и обозначается W:

(14.12)

Максимальное напряжение растяжения балки:

(14.13)

Осевой момент сопротивления имеет размерность мм³, он является основной расчетной величиной сечения при расчетах на изгиб. Формулы осевого момента сопротивления зависят от формы сечения и приведены в справочниках. Для круглого и прямоугольного сечения (рис. 14.8):