Геометрия и кинематика простейшего кулачкового механизма Исполнитель

Геометрия и  кинематика простейшего кулачкового механизма

{spoiler=Далее}

Геометрия и  кинематика простейшегокулачкового механизма

         Геометрия и кинематика кулачковых механизмов неотделимы друг от друга, так как форма кулачка непосредственно влияет на характер движения толкателя. Рассмотрим это на примере кулачкового механизма с вращающимся кулачком и поступательно движущимся остроконечным толкателем (рис. 4.1а).

Начнем с кулачка. В большинстве случаев, профиль кулачка состоит из двух дуг концентрических окружностей, сопряженных кривыми линиями (рис. 4.4); форма этих линий может быть различна и задается при проектировании.

         Меньшая окружность называется окружностью минимального радиуса r_min и находится в основе конструкции любого кулачка. Точки сопряжения дуг окружностей с кривыми (точки I, II, III, IV на рис. 4.4) являются характерными точками профиля, ограничивающими его участки. На схеме кулачок показан в положении, когда толкатель контактирует с ним в точке I.

Рис. 4.4.

Теперь рассмотрим движение толкателя при вращении кулачка. При повороте кулачка в направлении вращения (против хода часовой стрелки) на угол φ_утолкатель будет удаляться в направлении от центра кулачка, по этому участок профиля I-II называется участком удаления, а соответствующий этому участку центральный угол φ_у – углом удаления. При дальнейшем повороте кулачка до тех пор, пока толкатель будет контактировать с профилем на участке II-III, выполненном по дуге окружности, толкатель будет оставаться неподвижным в позиции, наиболее удаленной от центра кулачка. Поэтому, этот участок профиля называется участком дальнего стояния, а соответствующий ему центральный угол кулачка φ_д называется углом дальнего стояния. Во время контакта толкателя с участком III-IV профиля, толкатель, двигаясь по направляющим, возвращается по направлению к центру кулачка. Поэтому, этот участок профиля называется участком возвращения, а соответствующий ему центральный угол кулачка φ_в – углом возвращения. При контакте с участком IV-I, толкатель остается неподвижным в позиции наиболее близкой к центру кулачка, соответственно это участок называется участком ближнего стояния, а угол кулачка φ_б– углом ближнего стояния.

Указанные углы соответствуют фазам работы кулачкового механизма. В общем случае их четыре: фаза удаления, фаза дальнего стояния, фаза возвращения и фаза ближнего стояния. Поэтому, при анализе работы кулачкового механизма эти углы называются фазовыми.

Чтобы определить характер движения толкателя на фазах удаления и возвращения, нужны кинематические диаграммы, то есть, графики дающие представление об изменении перемещения, скорости и ускорения толкателя при повороте кулачка.

         Для построения диаграммы перемещения толкателя исходной служит схема кулачкового механизма, выполненная в определенном масштабе длин (рис. 4.5). При анализе кинематики кулачковых механизмов используется метод об­ращенного движения, при котором кулачок останавливается, а толкателю вместе с направляющими сообщается вращение вокруг центра кулачка с угло­вой скоростью - ω₁, то есть, в направлении обратном направлению вращения ку­лачка. При повороте этой системы толкатель, перемещаясь вдоль направляю­щих, будет следить за профилем кулачка. На схеме механизма показывается несколько позиций толкателя в пределах углов удаления и возвращения, причем количество позиций определяется размерами чертежа и требуемой точностью построений. На рис. 4.5 даны десять позиций толкателя: пять в пределах угла удаления (с первой по пятую) и пять других в пределах угла возвращения (с шестой по десятую).

Рис. 4.5.

Чтобы увидеть на чертеже перемещения толкателя, продлим линию его движения в каждой позиции до центра кулачка. Обозначим точки контакта тол­кателя с кулачком буквой К с соответствующим индексом, а точки пересечения линий движения толкателя с окружностью минимального радиуса – буквой D. Из чертежа понятно, что перемещения толкателя из своей исходной первой по­зиции равны отрезкам DК в соответствующих позициях (с учетом масштаба длин): в первой позиции перемещение равно нулю и точки К и D совпадают,

во второй позиции перемещение толкателя , в третьей –  и т.д. В общем случае можно записать:

         Полученный чертеж  дает возможность построить кинематическую диаграмму перемещения толкателя s(φ) (рис. 4.6). Масштаб оси ординат – масштаб перемещений толкателя μ_s, является произвольной величиной, в частности, он может быть таким же, как масштаб μ_l схемы механизма на рис. 4.5. Масштаб оси абсцисс – масштаб углов поворота кулачка, тоже произвольная величина и определяется так:

 (рад/мм)                                    (4.1)

где: φ_р – рабочий угол кулачкового механизма в радианах, равный

     сумме фазовых углов удаления, дальнего стояния и возвра-

щения, то есть,

 – изображение рабочего угла на оси абсцисс графика в мм.

Изображение рабочего угла – это отрезок на оси абсцисс графика, размер которого зависит от размеров чертежа. Этот отрезок разбивается в соответствии с действительными величинами фазовых углов.

Разделим отрезки углов удаления и возвращения на равные части так же, как на схеме механизма, и через точки делений  проведем вертикали. Так как масштабы перемещений на графике и на схеме механизма выбраны одинаковыми, то на этих вертикалях отложим соответствующие отрезки из схемы механизма. Соединив концы этих отрезков, получим график перемещения толкателя в функции угла поворота кулачка. Заметим, что этот график не меняется при изменении угловой скорости кулачка, он зависит только от формы профиля кулачка.

Рис. 4.6.

Переходя к кинематическим диаграммам, отражающим изменения скорости и  ускорения  толкателя,  следует заметить, что и  в  этом

случае удобно иметь графики таких скоростных параметров и параметров ускорения, которые бы не менялись при изменении угловой скорости кулачка, а зависели бы только от формы его профиля. Такими параметрами являются аналоги скоростей и ускорений.

         Аналог скорости – это величина пропорциональная скорости, но зависящая не от времени, а от угла поворота входного звена механизма (здесь – кулачка), то есть, это первая производная от перемещения не по времени, а по углу поворота этого звена:

                                              (4.2)

Чтобы найти связь между аналогом скорости и скоростью умножим и разделим эту дробь на dt:

Здесь ds/dt – это линейная скорость (в данном случае, толкателя), а dφ/dt – угловая скорость входного звена (в данном случае, кулачка). Поэтому,

  (м)                                          (4.3)

         Аналог ускорения – это вторая производная от перемещения по углу поворота входного звена:

                                             (4.4) 

Для нахождения связи между аналогом ускорения и ускорением умножим и разделим эту дробь на dt²:

Здесь d²s/dt² – это линейное ускорения (в данном случае, толкателя), а dφ²/dt² – квадрат угловой скорости (в данном случае, кулачка). Поэтому,

  (м)                                         (4.5)

         Графики аналогов скорости и ускорения  толкателя совмещены на рис. 4.6 в одной системе координат. Строятся они методом графического дифференцирования.

График аналога скорости строится методом графического дифференцирования диаграммы перемещения толкателя. Аналог скорости пропорционален отношению элементарных приращений Ds и Dj с учетом масштабов изображений, как это показано на рис. 5.6 на участке 3-4. Отношение катетов полученного прямоугольного треугольника равно тангенсу угла b₁ наклона его гипотенузы к оси абсцисс графика. Переходя к бесконечно малым можно написать:

                               (4.6)

Чтобы изобразить эту величину, пропорциональную тангенсу угла наклона касательной, графически в системе координат диаграммы аналога скоростей, поступаем следующим образом. Ось абсцисс графика продлеваем влево и откладываем на этом продолжении произвольный отрезок k₁, называемый базой графического дифференцирования. Из конца этой  базы р₁ (полюс дифференцирования) проводим луч, параллельный касательной к графику s(j) до ее пересечения с осью ординат. Полученный на оси ординат отрезок является изображением аналога скорости толкателя, так как его величина пропорциональна тангенсу угла b₁ наклона касательной (рис. 4.6). Масштаб этого изображения с учетом (4.6) и рис. 4.6, определится так:

После сокращения получаем формулу масштаба аналога скоростей:

  (м/мм)                                 (4.7)

Так как полученный отрезок является изображением аналога скорости толкателя на участке 3-4, то из точки пересечения луча с осью ординат проводим горизонталь, а из середины участка 3-4 – вертикаль. Точка пересечения этих прямых будет лежать на графике аналога скоростей толкателя. Произведя описанные построения в каждом участке, получим кинематическую диаграмму аналога скоростей V(j).

         Кинематическая диаграмма аналога ускорений на рис. 4.6 построена в той же системе координат при помощи графического дифференцирования диаграммы аналога скоростей. К этому графику в середине каждого участка проводятся касательные (на рис. 4.6 показана одна из них – на участке 4-5, наклоненная к ости абсцисс под углом b₂), на продолжении оси абсцисс откладывается произвольный отрезок – база графического дифференцирования k₂, через полюс р₂ проводятся лучи, параллельные касательным и т.д., так же, как это было описано выше. В результате получается диаграмма аналога ускорений А(j). Масштаб диаграммы рассчитывается аналогично (4.7):

  (м/мм)                                   (4.8)

{/spoilers}